Итак, на днях было показано – в который раз, – что равенство Ферма на сколь угодно длинных окончаниях (но меньших меньшего из чисел) может быть не противоречивым. Но тогда, как заметил один мой оппонент с lib-mehmat’а, большого ума не надо… чтобы догадаться поискать противоречие по первым числам. И менее чем за неделю доказательство было вылито в точные формулы.
К доказательству были привлечены всего три инструмента:
а) счисление с простым основанием n > 2;
б) впечатляющая (хотя всего с двухстрочным доказательством и, возможно, давно известная) Лемма, утверждающая, что для любого целого числа а с последней цифрой а_1 =/ 0 существует такой сомножитель р, что число ар (= n^m – 1, где m – некоторое целое число) состоит только из цифр n – 1, или из «девяток», и
в) простой факт из равенства a^n + b^n = c^n (1°) для действительных чисел больших единицы:
0 < (c – u)/u < 2/n, где u = a + b – c.
Весь этот инструментарий является внешним по отношению к Великой теореме, а потому до поры до времени я не буду рассматривать его доказательства и сразу перейду к доказательству ВТФ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
1. Допустим, равенство (1°) имеет решение в целых положительных числах.
2. С помощью Леммы приведем число u к виду 999…999000..000 – состоящему из r цифр, из которых последние k – нули (очевидно, r > k + 2).
3. Легко видеть, что для любого ранга i, где k < i < r, выполняется строгое равенство: a_i + b_i = c_i, а для ранга r равенство будет иметь вид: (a_r + b_r – c_r)_1 = n – 1 = «9».
4. Из неравенства 0 < (c – u)/u < 2/n следует, что число с превышает число u менее чем в 2/n раза. Это значит, что если цифра u_r невелика (меньше 2; здесь точность значения не имеет), то цифра c_r = u_r; если же велика, то c_r = u_r + 1. А далее рассматриваются эти два случая.
4а. Если c_r = u_r = «9», то
в самом лучшем случае {при a = [(n^k)n^(r + 1 – k) – 1)],
b = [(n^k)n^(r + 1 – k) – 1)], c = n^(r + 1) – 1} a^n + b^n > c^n:
[(n^k)n^(r + 1 – k) – 1)]^n + [(n^k)n^(r + 1 – k) – 1)]^n > (n^(r + 1) – 1)^n (2°).
4б. А если c_r = (u_r + 1)_1 = («9» + 1)_1 = 0, то a_r + b_r = «9», а цифра c_{r + 1} = 1 и
в самом лучшем случае {при a = n^(r + 1) – 2, b = 1, c = n^(r + 1) + 1} a^n + b^n < c^n:
(n^(r + 1) – 1)^n + 1^n < (n^(r + 1))^n (3°).
Таким образом, уравнение Ферма в целых числа неразрешимо.
Автор готов ответить на любые вопросы читателей.
В заключение автор хотел бы поблагодарить двух корректных оппоннетов с форума Physics Forums – Hurkyl и ramsey2879, проведших быстрый и достаточный анализ первого доказательства, что потребовало немедленно найти выход из трудного положения.
---
Убираю сплошные заглавные буквы из названия темы. (dm, 11.10.2005)
---
Первая тема здесь. (dm)
