2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Около нуля можно заменить $\sin x$ на $x$ (погрешность легко оценивается). Получается интеграл, выражаемый в спецфункциях, с известным значением в нуле. Далеко от нуля — обычным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 11:06 


20/03/14
12041
А, елки. Приношу свои извинения Student2018 за случайно убитый мною стартовый пост.

Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$$
$0<a<b<1$.
Student2018 писал(а):
В элементарных функциях, понятное дело, он не выражается. Можно разложить в ряд, но сходимость будет наверняка не ахти. Функция $\sin(1/x)$ в нуле имеет $\infty$ количество изгибов и т.о. сильно осциллирует. Далеко от точки разложения, нужно непомерное количество членов ряда (чем ближе к 0, тем больше надо). Вопрос, можно ли как-то более-менее быстро вычислить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 11:11 


12/09/18
39
Странно, куда-то все сообщения подевались...
worm2

Спасибо, интересная идея, может быть поможет. А если надо точно вычислить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Точно — никак.
Ну или объявляете свою спецфункцию Si2018(x), равную искомому интегралу от 0 до x, исследуете её, доказываете, что она не выражается в элементарных функциях (в идеале, конечно, надо бы доказать, что она не выражается через известные спецфункции, но тут может спасти то, что понятие "известная спецфункция" строго не определено), описываете алгоритм её более или менее эффективного вычисления с любой наперёд заданной точностью (в основе будет всё равно примерно то же самое, что я в предыдущем сообщении набросал). Всё. Точное значение интеграла равно Si2018(b)-Si2018(a). Это по всем критериям ничем не хуже, чем "точное значение интеграла от dx/x на отрезке от a до b равно ln(b)-ln(a)". Этот результат ведь тоже невозможно точно вычислить, ни в десятичных дробях, ни в натуральных, но люди как-то живут с этим.

Я прошу прощения, что не $\TeX$ом пишу, потому что тут конкретные формулы не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:12 


05/09/16
11453
Интеграл $y(x)=\int_0^x \sin(t)\sin(1/t)dt$ (на графике $x \in (0;0.5]$):
Изображение
Вблизи нуля там колбасит всё, конечно, но сам интеграл по модулю много меньше верхнего предела ($0<x \ll 1,|y|\ll x$)
Диапазон $x \in (0;0,001]$
Изображение
Диапазон $x \in (0;100]$
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:39 


12/09/18
39
wrest

Да, но дьявол, как говорится, прячется в мелочах (это я про точность вычислений). Вот если растянуть промежуток (0,1), то получится:
$$\int\limits_{a}^{b}\sin(x)\cdot\sin(\frac{n}{x})$$
1<a<b<n<$\infty$

Тут уже $\sin(x)$ тоже дает волны. Мне надо это как-то посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:45 


20/03/14
12041
Student2018
Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):
Тут уже sin(x) тоже дает волны.

Оформляйте все формулы, пожалуйста. И делайте замену аккуратно, тогда и никаких лишних эффектов не возникнет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:58 


12/09/18
39
worm2
Я вам в ЛС ответил...

Lia
Lia в сообщении #1338312 писал(а):
И делайте замену аккуратно, тогда и никаких лишних эффектов не возникнет.


Для промежутка (1,$\infty$) замена $\sin(x)$ на x вроде бы никак не подходит, даже если аккуратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 13:51 


05/09/16
11453
Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):
Тут уже $\sin(x)$ тоже дает волны. Мне надо это как-то посчитать.

Численно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:03 


20/01/12
194
Lia в сообщении #1338285 писал(а):
Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$ $0<a<b<1$.

Если я правильно понял вопрос, то этот интеграл вычисляется элементарно. Нужно воспользоваться формулой Эйлера:

$\sin(x) = \frac{e^{+ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\sin(\frac{1}{x}) = \frac{e^{+\frac{i}{x}}-e^{-\frac{i}{x}}}{2i}$

После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:07 


20/03/14
12041
=SSN= в сообщении #1338331 писал(а):
После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..

Нет, Вам показалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9459
Москва
=SSN= в сообщении #1338331 писал(а):
Lia в сообщении #1338285 писал(а):
Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$ $0<a<b<1$.

Если я правильно понял вопрос, то этот интеграл вычисляется элементарно. Нужно воспользоваться формулой Эйлера:

$\sin(x) = \frac{e^{+ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\sin(\frac{1}{x}) = \frac{e^{+\frac{i}{x}}-e^{-\frac{i}{x}}}{2i}$

После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..


Гениально! Только не работает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:14 


20/01/12
194
Lia в сообщении #1338333 писал(а):
Нет, Вам показалось.

Так, скобок же нет после первого синуса?

-- 12.09.2018, 14:17 --

Вот тут ТС явно указывает, что под интегралом стоит произведение синусов:
Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):
Вот если растянуть промежуток (0,1), то получится:
$\int\limits_{a}^{b}\sin(x)\cdot\sin(\frac{n}{x})$
1<a<b<n<$\infty$

Ой! Кажется я перегрелся.. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:29 


12/09/18
39
wrest в сообщении #1338327 писал(а):
Численно...

Для большого $n$ численно будет неподьемно. Хочется какое нибудь более менее аналитическое решение.

=SSN=
Нет, на комплексной плоскости там все еще запутаннее получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:30 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Как вариант сделать замену $y=1/x$.

А вообще, так как функция аналитическая, то известный метод - выйти в комплексную плоскость и заменить интегрирование по отрезку $[a,b]$ на интегрирование по полуокружности, диаметром которой является этот отрезок. Матпакеты умеют численно считать интегралы от комплексных функций, так что программировать особо ничего не надо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group