Равенство нормальной компоненты, относительно стенки не всегда равно нулю.
У физиков может быть и совсем другое условие.
Есть пористые стенки.Из них есть выдув или отсос пристенного газа.
Так устроены все воздухозаборники в авиадвигателях и крылья самолетов.
Посмотрите пример задания граничных и начальных условий в статье.
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj/53/1/55/_pdf
На всей границе (на всей поверхности, ограничивающей жидкость) вектор скорости равен всегда нулю, во всех точках и во все времена.
А при t = 0 сек проекции вектора скорости заданы скаляром в каждой точке объема внутри области.Константой.
То есть термос,очень медленно едет на тележке.Она двигается с постоянной скоростью. Если в нем дырка, то Ваше условие не протекания не справедливо. В конце концов, вся вода вытечет. Не выполняется уравнение неразрывности для термоса, но выполняется для данной замнутой области.
Если вы не можете в это поверить, то проделайте опыт.
Вот пример других граничных и начальных условий.И их может быть много.
Аналогично труба, движется на тележке.Если по трубе течет газ, то на стенках одна из компонент прекции вектора скорость не равна нулю, а скорости тележки.Если тележка неподвижка, скорость на стенках газа равна нулю.
Ув. Казачек.Я попробую посмотреть подробно попозже. Вы использовали очень сложную систему обозначений.
В курсе математики Пискунова,Петровского, Фарлоу по дифференциальным уравнениям, которые нам преподавали, использовались намного более простые и понятные обозначения дифференциала и производных.У вас же введено какое-то не стандартное обозначение, используемое в каком-то частном случае Седовым. Вы хотите его использовать на все случаи.
Я его никогда в жизни не использовал.Поэтому оно выглядит немного не обычно и не понятно.
Если бы вы дали стандартные обозначения или тут же привели несколько обозначений Седова (как бы перевод на нормальный математический язык, который использовал Эйлер, Лагранж,Коши), то было бы проще понять всем Ваш текст.
Есть дифференциал, есть производная, есть частная производная и операторы, которые упрощают обозначения(набла). Есть понятия дивергенции и градиента из векторного анализа, понятия пространства и нормы.И стандартные знания из 1 годичных курсов типа Фихтенгольца,Колмогорова и Фомина по функциональному анализу и теории операторов.
Этого достаточно.Все остальное не нужно для решения проблемы века.
Вы показываете, что решение существует, это есть ограниченная функция, она единственная и градкая.Где и когда и при каких условиях.Когда это не выполняется.
Никаких же в постановке задачи для уравнения Навье-Стокса других математических объектов не встречается (типа дробных производных, разрывных функций и т.д., пространство Бесова)
Начальное условие задано гладкой функцией, например
U(t=0)=3*x+7*y^2-z^4+8;
^ - знак степени.
Две других проекций скорости заданы другими гладкими функциями во на всем промежутке временного интервала от нуля до бесконечнности.
Как и функция давления p.
Поэтому не вижу смысла городить огород.Все нужное просто, все сложное не нужно.
У меня получилось комично.Я нашел решение (причем это сделать можно многими способами) самым неудобным и трудным способом и поэтому случайно, а потом узнал из книги Ладыженской, что его не бывает.Так как уравнение это не красивое и его надо изменить.
Это конечно чепуха. Я написал письмо Ладыженской, хотел ее с новым годом поздравить.Но она спустя некоторое время умерла в Петербурге.Так мне и не ответила.
Потом нашел, что есть такой институт Клея и эту задачу назвали
"проблемой века" .И если бы не приз, то никто и не вспоминал бы его.
Поэтому на форумах мне всегда пишут, "ты в курсе что можно намылить с них мильёон и пропить".
Эта задача заслуживает книги.Она очень большая и требует огромных знаний по математике и умения владеть ими.
В принципе все известно каждому выпускнику.Но нужно примерно 8 идей новых, каждый этап приблизит Вас к решению.
Поэтому мне интересно понять, почему же Ладыженская ошиблась.
Кстати ошибался и умерший профессор МГУ Климонтович Ю.Л. На его лекциях,которые я слушал, он предполагал, что уравнения Навье-Стокса не содержат турбулентность, которая встречается в гидродинамике.Поэтому его надо дополнить некоторыми неизвестными флуктуационными членами.
В этом он противоречил Ландау.Tакие дополнительные члены нужно использовать, когда внешние силы имеют очень сложный вид или у среды какие-нибудь необычные свойства.
Если вы посмотрите на диф уравнение нелинейное Николаевского.
Оно описывает поведение жидких кристаллов.Нематеков.То там также наблюдается хаос, без всяких дополнительных членов.Но скорость элементарного объёма нематика равна нулю.Как если бы число Рейнольдса было равно нулю.
http://phorum.lebedev.ru/viewforum.php?f=17
Об этом нам сообщает из Израильского инситута технологии
Jakov Foukzon(
aguidance@excite.com).
Есть уравнение Курамото-Сивашинского.Это преобразованное уравнение Навье-Стокса (в систему входит и уравнение неразрывности) в одномерное нелинейное дифференциальное уравнение.Оно так же содержит в себе хаос без всяких членов.
Гипотеза Климонтовича не верна в случае простой воды или газа.Хотя я так же думал, что он прав, пока не пообщался с экспериментаторами.
И пришлось долго помучиться, что бы уже в решении найти турбулентность. И опровергнуть гипотезу Климонтовича Ю.Л. Кстати Ланда, профессор в МГУ, так же считает, что в уравнении Навье-Стокса нет турбулентности.Это ошибка всей школы МГУ им Ломоносова.
А ошибка Ладыженской намного сложнее.
Она знала на порядки больше, чем я. Но ее знания оказались в итоге бесполезными и не полными.Понятия, такие как нелинейные волны, фрактал и другие, так же не были известны ей в то время.А это все включено в решение уравнения.
Представьте, что вы не знаете, что такое иррациональные числа и пытаетесь их понять с помощью целых чисел.Cитуация
мне кажется та же.Нужно вводить новые математические понятия.И если бы математики это сделали раньше, до 1883 года,когда турбулентность была открыта экспериментально, то они бы открыли физические и математические явления и понятия: турбулентность, фрактальность и многое другое на кончике пера.
считается не имеющим смысла.
![\[
x_i
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/f/98fdcc95521984090eca709d3809d0dd82.png "\[
x_i
\]")
задаются «через посредство» лишь ![\[
\varsigma
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/f/a0ffe9fb0d7da63d7d4a9aa00229c90182.png "\[
\varsigma
\]")
. Примем во внимание (например, Кочин Н.Е., «Векторное исчисление…»), что «все основные свойства производных сохраняются и для производных векторов (стр. 79)». В таком случае «компоненты производной вектора равны производным от компонент данного вектора,… а правило дифференцирования сложных функций применяется и к векторам (стр. 80)». Поэтому полагая, что сложная функция является вектором скорости ![\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/5/de50e26695b9a445bd1f40643a86fc7c82.png "\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]")
, получим три формулы для частных производных сложной вектор-функции по пространственным координатам
![\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}
{{\partial x_i }},(x_i = x,y,z)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/d/edd94c8b11d76cd3d48c630f0aab408782.png "\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}
{{\partial x_i }},(x_i = x,y,z)
\]")
(1)
![\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/e/00eb05150d37a059ab080e92f321988682.png "\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}
\]")
и поочередно приравнивая их правые части, получим
![\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/1/1d13fc0ef2076e2ce4d3f084dad2e03b82.png "\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]")
(2)
![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/0/4304bb378713d08d299f6c91aef68cfa82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]")
(3)
![\[
\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/c/5ccd706c6e9ce236084b55eeff02aa4d82.png "\[
\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]")
и поочередно приравнять правые части полученных выражений, то получим варианты взаимосвязей между произведениями производных
![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/8/c98d5f7188a44df0c8da34eb499fff9082.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }}
\]")
(4)
![\[
x_i = x,y,z
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/f/a7f88e75731891380d464e91b63fb0dc82.png "\[
x_i = x,y,z
\]")
, а также ![\[
x_j \ne x_i
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509d17d4b1f28e3198dfd3bab78e996582.png "\[
x_j \ne x_i
\]")
получаем необходимые нам выражения для преобразования формулы (3) в статье:
![\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/0056180d7fc636ae414a62f28b35674382.png "\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]")
![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/f/17fe02fee129bf3eaee485763a23741b82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]")
(5)
![\[div\ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/4/b24c7e781ac67cb58988d432d2f726c282.png "\[div\ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]")
, откуда вытекает, что в случае, когда ![\[
div\dot \vec u = 0 \Rightarrow div\ddot \vec u = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e410a03dddc93cf561f1b864ac169482.png "\[
div\dot \vec u = 0 \Rightarrow div\ddot \vec u = 0
\]")
.
задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной 
. 
задана только на кривой. Поэтому производные 
не определены и потому не могут входить ни в какие формулы.
. Попытаемся сосчитать производную 
по Вашему методу (я использую обозначения покороче). Пусть 
задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной 
.
. А по Вашeй формуле (1),
.
,
,
,
.
