Нахождение радиуса сходимости ряда

[Accent14]

Здравствуйте, уважаемые участники. Такая задача:

Цитата:

Вычислите радиус сходимости ряда Тейлора (в окрестности точки $x=0$) для функции

$$f(x)=\cfrac{1}{x^2+2x+2}$$

Используйте выражение вида $\sqrt{z}$

Преобразую в

$$f(x)=\cfrac{1}{(x+1)^2+1}$$

Затем беру известный ряд $\cfrac{1}{u^2+1}=1-u^2+u^4-u^6+...$ , соответственно, для него $\left\lvert u \right\rvert<R=1$.

Соединяем,

$$u=x+1 \Rightarrow \left\lvert x+1 \right\rvert<1\Rightarrow x\in (-2;0)$$

соответственно, $R=1$, Но! для $x=-1$.
Я не нашел, что такое "радиус сходимости в окрестности точки" (возможно, плохо искал), есть только термин "центр круга сходимости". Вижу два варианта ответа:

забить на $x=0$, тогда $R=1$.
принять за центр круга $x=0$, тогда $R=0$ (или пустое множество (?)).

В обоих случаях ничего нет, напоминающего корень.

Намекните, куда двигаться дальше? Спасибо!

[ИСН]

Двигаться назад, пока не станет ясно, что ряд Тейлора - это что-то совсем другое, нежели Вам представляется теперь. В частности, у любой функции он не один, а довольно дофига разных.

[Accent14]

Спасибо! Но нет идей, кроме разложения в ряд степени Бинома $(1+x)^a$ (частным случаем которого $\cfrac{1}{1+x^2}$). Штудировал Привалов Введение в ТФКП, Кудрявцев, Курс матана т2.

[alisa-lebovski]

Можно сначала разложить квадратный многочлен на множители относительно комплексных корней,
потом дробь в сумму дробей с комплексными знаменателями, а те уже в ряды.

[provincialka]

Accent14 А это какой предмет: матан или ТФКП? В комплексных переменных радиус круга сходимости можно определить, не вычисляя само разложение.

[DeBill]

Accent14 в сообщении #1266136 писал(а):

Курс матана т2.

Это хорошо. А есть еще т.1, и там, видимо - разложение рациональной функции на простейшие дроби....

[Accent14]

alisa-lebovski в сообщении #1266140 писал(а):

Можно сначала разложить квадратный многочлен на множители относительно комплексных корней.

$\cfrac{1}{(x+1+i)(x+1-i)}=\cfrac{1}{x^2+x+xi+x+1+i-xi-i+1}$
Спасибо! Но к сожалению у меня нет идей...

-- 17.11.2017, 20:11 --

provincialka в сообщении #1266141 писал(а):

Accent14 А это какой предмет: матан или ТФКП?

Тема Степенные ряды и комплексная экспонента

-- 17.11.2017, 20:18 --

DeBill в сообщении #1266143 писал(а):

разложение рациональной функции на простейшие дроби....

Идея понятна, но $x^2+1 $ как-то ни на что не раскладывается...

[provincialka]

Ну... странно. При выходе в комплексную плоскость видно, что радиус сходимости определяется ближайшей к центру точкой разрыва. Найдите ее и посмотрите расстояние. А сам ряд-то вам зачем?

Впрочем, если это часть вторая, то уж интегрирование рациональных функций вы прошли... и раскладывать в простейшие дроби должны уметь.

-- 17.11.2017, 19:23 --

Accent14 в сообщении #1266144 писал(а):

Идея понятна, но $x^2+1 $ как-то ни на что не раскладывается

Ну как же не раскладывается, если у вас уже задействованы комплексные числа!!

[DeBill]

Accent14 в сообщении #1266144 писал(а):

но $x^2+1 $ как-то ни на что не раскладывается

И не надо. А надо - то, как Вы разложили знаменатель. А теперь надо Вашу дробь представить в виде суммы $\frac{A}{x-x_1}+ \frac{B}{x-x_2}$, с неопределенными к-тами. И т.д.....
Но - коль тема такая, то проще - и без всяких разложений - сделать так, как Вам уже посоветовали: по теореме Тейлора, радиус сх-ти равен расстоянию от центра до ближайшей особой точки.
А, уже написали.

[Accent14]

provincialka в сообщении #1266149 писал(а):

радиус сходимости определяется ближайшей к центру точкой разрыва. Найдите ее и посмотрите расстояние. А сам ряд-то вам зачем?

Насколько понимаю, радиус зависит от того, в какой ряд разложена функция. В первом посте я нашел ряд с центром в $x=-1$, но видимо требуется найти ряд с центром в $x=0$... Я так понял.

[Lia]

Вам требуется найти радиус сходимости этого ряда. И оформите все формулы, пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.