2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 18:07 


08/10/09
110
Дорого времени суток!
У меня есть стационарное одномерное уравнение Шредингера с известным потенциалом.
После простейших преобразований оно сводится к виду:
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+[k^2-\alpha^2 \exp(-1/x)]\psi=0$, (1)
где $x\geq 0$, $k, \alpha>0$ ($\alpha>k$).
Мне необходимо получить частное решение этого уравнения при асимптотическом граничном условии ${\psi_{x\to \infty}}\to 0$.
Уравнение (1) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с переменным коэффициентом.
Насколько я понимаю, решение таких уравнений с переменными а не постоянными коэффициентами является скорее искусством, нежели процедурой с четким алгоритмом.
Я пытался решить это уравнение путем различных факторизаций неизвестной функции; делал различные замены переменной.
Но так и не сумел привести это уравнение к одному из известных в литературе видов. Пытался я также использовать метод Лапласа, но моих знаний и опыта в этой области
явно недостаточно. Наконец, я пытался найти этот вид ОДУ у Полянина и Зайцева, но так и не нашел (может быть, плохо искал).
Буду признателен за любую помощь в решении этого уравнения.
P. S. Maple и Mathematica не выдали его решения. Численное решение этого уравнения (по крайней мере на данном этапе меня не интересует)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 20:46 


31/08/17
175
reterty в сообщении #1262820 писал(а):
уравнения при асимптотическом граничном условии ${\psi_{x\to \infty}}\to 0$.


$\psi\equiv 0$ устроит?
ну а вообще при больших $x$ тривиальное решение делается гиперболическим так, что в пространстве $(\psi,\psi' ,t)$ там целое двумерное многообразие решений с указанной асимптотикой

-- 06.11.2017, 21:48 --

reterty в сообщении #1262820 писал(а):
Насколько я понимаю, решение таких уравнений с переменными а не постоянными коэффициентами является скорее искусством

Вы неправильно понимаете, дифференциальные уравнения просто не имеют привычки интегрироваться в квадратурах, привыкните к этому и все

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
pogulyat_vyshel в сообщении #1262852 писал(а):
в пространстве $(\psi,\psi' ,t)$ там целое двумерное многообразие решений с указанной асимптотикой


С указанной -- одномерное, а не двумерное. Второе решение будет расти на бесконечности хотя бы из вронскиана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:08 


31/08/17
175
g______d в сообщении #1262866 писал(а):
С указанной -- одномерное, а не двумерное

вы просто не понимаете разницы между пространством начальных условий и расширенным фазовым пространством, которое трехмерно. в трехмерном расширенном фазовом пространстве устойчивое и неустойчивое двумерные многообразия пересекаются по прямой $\psi=\psi'=0$

-- 06.11.2017, 23:11 --

по слогам попробую объяснить: берете ваше одномерное многообразие и тянете фазовым потоком вдоль оси $x$ в пространстве $(\psi,\psi', x)$ получаете двумерноем многообразие в $(\psi,\psi', x)$. Что такое двумерное многообразие объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:13 


08/10/09
110
Единственное, что удалось "нарыть" в Камке это то что такое уравнение называется нормальным (приведенным) уравнением однородным второго порядка.
Функция в скобках -его инвариант

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
pogulyat_vyshel в сообщении #1262870 писал(а):
вы просто не понимаете разницы между пространством начальных условий и расширенным фазовым пространством, которое трехмерно. в трехмерном расширенном фазовом пространстве устойчивое и неустойчивое двумерные многообразия пересекаются по прямой $\psi=\psi'=0$

-- 06.11.2017, 23:11 --

по слогам попробую объяснить: берете ваше одномерное многообразие и тянете фазовым потоком вдоль оси $x$ в пространстве $(\psi,\psi', x)$ получаете двумерноем многообразие в $(\psi,\psi', x)$. Что такое двумерное многообразие объяснить?


Зачем вообще это нужно в линейном случае, если всё описывается в терминах пространства решений, которое линейно и двумерно?

-- Пн, 06 ноя 2017 12:21:34 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1262870 писал(а):
по слогам попробую объяснить: берете ваше одномерное многообразие и тянете фазовым потоком вдоль оси $x$ в пространстве $(\psi,\psi', x)$ получаете двумерноем многообразие в $(\psi,\psi', x)$. Что такое двумерное многообразие объяснить?


По-моему, вы просто плохо понимаете, что такое решение. Это одномерная кривая в вашем фазовом пространстве. Пространство всех возможных таких кривых двумерно (поскольку есть однозначное соответствие между решением и элементом пространства начальных условий). Пространство всех таких кривых с заданной убывающей асимптотикой одномерно (при ограничениях, наложенных ТС).

-- Пн, 06 ноя 2017 12:27:14 --

Вы, очевидно, имеете в виду "объединение всех указанных кривых двумерно", что верно, но не имеет отношения к делу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:29 


31/08/17
175
g______d в сообщении #1262877 писал(а):
Зачем вообще это нужно в линейном случае, если всё описывается в терминах пространства решений, которое линейно и двумерно?


зачем это нужно это не вопрос математики, это вопрос ваших взглядов на методику изложения, а они мне, простите, неинтересны. С математической точки зрения ваш предыдущий коммент на мой пост является ошибочным.
g______d в сообщении #1262877 писал(а):
По-моему, вы просто плохо понимаете, что такое решение. Это одномерная кривая в вашем фазовом пространстве

и вот вы опять путаете разные объекты, советую всетаки ознакомиться с понятием асимптотическое многообразие

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7185
Hogtown
Следует отметить, что потенциал $\alpha^2 \exp (-1/x)$ (именно такой знак при стандартной записи с минусом перед второй производной) равен 0 в 0 и растет до $\alpha^2 $ на бесконечности. Т.е. имеет место потенциальная яма, и поведение решений будет разным при $0<k<\alpha$ и $k>\alpha$.

В первом случае одно решение будет убывать, а второе (и все остальные) расти на бесконечности. Во втором убывающих решений скорее всего вообще не будет, но будут два решения, похожие на $e^{\pm ikx}$.

Если бы было граничное условие (т.ч. оператор самосопряжен) при $x=0$, то был бы дискретный спектр ниже $\alpha^2 $, и непрерывный выше. Поскольку на потенциал на бесконечности ведет себя как $\alpha^2 (1-1/x)$, то дискретный спектр накапливался бы к $\alpha^2 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
pogulyat_vyshel в сообщении #1262881 писал(а):
и вот вы опять путаете разные объекты, советую всетаки ознакомиться с понятием асимптотическое многообразие


При чём это здесь? Ещё раз: из контекста поста ТС, решение -- это не тройка $(x,\psi(x),\psi'(x))$, а функция на $\mathbb R_+$ или кривая в пространстве таких троек.

Я очень надеюсь, что вы объясните, каким именно образом пространство всех функций на $\mathbb R_+$, решающих данное уравнение и имеющих асимптотику $\psi(x)\to 0$ при $x\to +\infty$, взаимно однозначно отображается на что-то двумерное, или смените тон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:43 


08/10/09
110
Red_Herring в сообщении #1262883 писал(а):
Следует отметить, что потенциал $\alpha^2 \exp (-1/x)$ (именно такой знак при стандартной записи с минусом перед второй производной) равен 0 в 0 и растет до $\alpha^2 $ на бесконечности. Т.е. имеет место потенциальная яма, и поведение решений будет разным при $0<k<\alpha$ и $k>\alpha$.

В первом случае одно решение будет убывать, а второе (и все остальные) расти на бесконечности. Во втором убывающих решений скорее всего вообще не будет, но будут два решения, похожие на $e^{\pm ikx}$.

Если бы было граничное условие (т.ч. оператор самосопряжен) при $x=0$, то был бы дискретный спектр ниже $\alpha^2 $, и непрерывный выше. Поскольку на потенциал на бесконечности ведет себя как $\alpha^2 (1-1/x)$, то дискретный спектр накапливался бы к $\alpha^2 $

Уважаемый Red_Herring! В условии я написал что $k<\alpha$, т.е меня интересует именно дискретный спектр (уровни в яме) а не сплошной спектр над нею.
Это действительно квантовая яма-яма симметричная, но чтобы не усложнять суть дела яограничился положительными значениями $x$ и опустил в экспоненте знак модуля у $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2751
ФТИ им. Иоффе СПб
Насколько я понял, уважаемый reterty пытается решить спектральную задачу для уравнения Шредингера с потенциалом $V=\alpha^2e^{-\frac{1}{x}}.$ При этом, непонятно, на всей прямой это действо происходит, или только на полупрямой. Потенциал выбран удивительно хреновый, и, IMHO, ни к чему приличному такая задача не сведется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
На самом деле, если не ругаться, можно ввести новый спектральный параметр $\lambda=k^2-\alpha^2<0$, пусть $\mu=\sqrt{-\lambda}$

тогда

$$
f(x)=e^{-\mu x}+\int_x^{+\infty}\frac{\sin(\mu(x-y))}{\mu} u(y)f(y)\,dy,
$$
где $u(x)=\alpha^2 e^{-1/x}-\alpha^2$, и это интегральное уравнение можно решать методом итераций, начиная с $f=0$, оно будет сходиться достаточно быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7185
Hogtown
reterty в сообщении #1262886 писал(а):
условии я написал что $k<\alpha$, т.е меня интересует именно дискретный спектр (уровни в яме) а не сплошной спектр над нею

Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.

В любом случае рассчитывать на явное решение не приходится (в этом, и только в этом pogulyat_vyshel прав).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
Red_Herring в сообщении #1262889 писал(а):
Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.


Это в каком-то смысле делает задачу проще, потому что решение Йоста всегда существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 22:52 


08/10/09
110
amon в сообщении #1262887 писал(а):
Насколько я понял, уважаемый reterty пытается решить спектральную задачу для уравнения Шредингера с потенциалом $V=\alpha^2e^{-\frac{1}{x}}.$ При этом, непонятно, на всей прямой это действо происходит, или только на полупрямой. Потенциал выбран удивительно хреновый, и, IMHO, ни к чему приличному такая задача не сведется.

Это неплохой потенциал в том смысле, что рассматривается размытая ступенька (более реальное приближение) , причем в пределе больших $x$ она дает оголенный потенциал силы зеркального изображения в плоском двумерном слое гетероструктуры........ ну а с разницами масс в слое и за его пределами разберемся позже. Думаю, тут можно граничиться ступенчатой аппроксимацией. Кстати, этот потенциал на границах ямы имеет перегиб, что также довольно правдоподобно (возвращающая сила имеет максимум).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group