2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Эллипс как коническое сечение
Сообщение18.10.2017, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1652
Москва
Размещу тему здесь - а там посмотрим, как она пойдёт. Если пойдёт.

Предыстория.
Конические сечения - они на то и конические и сечения, что могут быть получены при пересечении конуса плоскостью. Факт бородатый, мягко говоря. Есть подход, в рамках которого эллипс, гиперболу и параболу можно вообще не считать различными кривыми: всё это эллипс, просто по-разному расположенный на проективной плоскости. И картинка с сечением конуса может помочь это проиллюстрировать. Ведь если взять секущую плоскость так, чтобы в сечении образовывалась окружность (конус берём круглый), а потом поворачивать эту плоскость, то окружность сначала станет эллипсом, который в некоторый момент (всем известный) превратится в параболу, а затем и в гиперболу. Но это всё слова, которые все слышали не раз, а можно ведь и посчитать.

История.
Собственно, предлагается взять конус
$$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=0$$и плоскость, которая перпендикулярна оси конуса и проходит через его вершину. Эту плоскость будем поворачивать вокруг прямой, принадлежащей данной плоскости и не проходящей через вершину конуса. Угол поворота $\varphi$ считаем параметром в задаче. Предлагается рассчитать эксцентриситет получающегося эллипса, найти его фокусы, а затем убедиться, что в некотором пределе с эксцентриситетом и фокусами происходит то, что должно произойти для параболы. А можно продолжить и до гиперболы.

Мораль.
По-моему эту задачу хорошо бы задавать студентам на первом курсе, когда они проходят аналитическую геометрию. Формула для эксцентриситета получается симпатишно простая. Глядишь ещё и воображение у детишек поработает. Ну, и посмотрят хоть на задачу чуть-чуть посложнее, чем привести уравнение эллипса к каноническому виду.

В общем, можно высказываться по всем темам: приводить решения-ответы, комментировать методическую составляющую, жаловаться на отсутствие фантазии составителя задачи, вносить свои предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение18.10.2017, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1256641 писал(а):
конус берём круглый

Не обязательно круглый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение18.10.2017, 20:31 
Аватара пользователя


11/06/12
7642
Минск
Metford в сообщении #1256641 писал(а):
конус берём круглый
Munin в сообщении #1256653 писал(а):
Не обязательно круглый.
Metford, он же у вас по уравнению уже не круглый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение18.10.2017, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Aritaborian
Как же это? Некруглый был бы в случае уравнения $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение18.10.2017, 21:28 
Аватара пользователя


11/06/12
7642
Минск
Munin, я точно злостно туплю? Прошу простить. Показалось, что и в этом случае не совсем круглый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение18.10.2017, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1652
Москва
Aritaborian в сообщении #1256694 писал(а):
Metford, он же у вас по уравнению уже не круглый.

Круглее не будет :-) Ну, попробуйте взять сечение любой плоскостью типа $z=\operatorname{const}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение18.10.2017, 21:45 
Аватара пользователя


11/06/12
7642
Минск
Ну туплю — значит, туплю. Что ж поделать, бывает и хуже, согласитесь. Прошу простить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 04:19 
Аватара пользователя


09/10/15
1941
San Jose, USA
Metford
Спасибо за задачку.
Если честно, то возиться с коническими сечениями особо не приходилось.
В школе мы это вообще не проходили, а в университете в разделе аналитическая геометрия была простая теория. Типа как с помощью известных преобразований привести кривую второго порядка к каноническому виду. Причем это было даже не сечение, а просто функция двух переменных.
В Штатах школьники проходят в школе примерно ту же фигню.
То есть есть голословное утверждение что вот мол берем круговой конус и сечем. В сечении получаем обобщенный эллипс. А теперь на плоскости исследуем его эксцентриситенты и фокусы.

Так что лично мне задачки на сечения вообще никогда не приходилось.

Вторая мысля, которая пришла в голову, это просто найти точки пересечения прямых $z=(y-y_0)\tg\varphi$ и $z=\pm \frac ba y$. Это мы найдем координаты большой полуоси. Затем находим точку посередине - это будет центр эллипса, и подставить ее в уравнение эллипса, что нам даст координаты малой полуоси.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1652
Москва
fred1996
У меня эллипс - любимец, можно сказать. Один из любимцев. За мной тут уже числится одна забавная задачка на этого персонажа. А этот расчёт, ну, он просто сам напрашивается. Думаю, что он в какой-нибудь книге всё-таки должен быть.

Но это лирика. Хотелось бы, чтобы хоть эксцентриситет кто-нибудь выписал :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 10:35 


21/05/16
845
Аделаида
Приду домой - посчитаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 10:47 


05/09/16
2086
Metford в сообщении #1256840 писал(а):
Хотелось бы, чтобы хоть эксцентриситет кто-нибудь выписал

У меня вышло так: [del]
upd должно быть: $e=\sin \varphi \cdot \sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 10:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1652
Москва
Ваше определение угла $\varphi$ согласовано с моим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 11:02 


05/09/16
2086
Metford в сообщении #1256857 писал(а):
Ваше определение угла $\varphi$ согласовано с моим?

У меня это угол между секущей плоскостью и осью конуса (т.е. ноль это когда плоскость параллельна оси конуса).
А, ну да, наши с вами углы отличаются, и тогда у меня в формуле будет синус вашего фи, а не косинус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1652
Москва
Да. Уж не знаю, будет ли кто положение фокусов искать, но к форме записи ответа дам комментарий. Тут удобно ввести угол $\varphi_0$, при котором в сечении получается парабола. Тогда в ответе на все вопросы задачи не останется параметров конуса $a$ и $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс как коническое сечение
Сообщение19.10.2017, 12:44 


05/09/16
2086
Metford в сообщении #1256864 писал(а):
Тут удобно ввести угол $\varphi_0$, при котором в сечении получается парабола.

Парабола получается вроде бы когда $\varphi_0=\pi/2 - \arctg \frac ab$ (если я опять не перепутал острые углы в прямоугольном треугольнике).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group