2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти норму функционала
Сообщение15.10.2017, 00:36 


14/10/17
9
Всем добрый вечер! Прошу помочь в решении задачи:
Имеется в пространстве $C[-1,1]$ (с нормой $||x|| = \max|x(t)|$) функционал $f(x) =  x(-1) - 2x(0) + \int_{0}^1 x(t)dt$.
Доказал, что он линеен и ограничен (соответственно, непрерывен) и его норма не превосходит 4 (это точно верно): $||f|| \leqslant 4$. Как проверить достигается ли значение нормы? У меня не получилось подобрать подходящую функцию $x(t)$ на которой бы норма достигала бы значение 4.
Буду благодарен, если кто-нибудь подскажет как ее подобрать или доказать, что это значение недостижимо. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение15.10.2017, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Этот функционал представляется в виде трех функционалов (легко видно, каких). Можете ли вы записать условия достижения нормы для каждого из них?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение15.10.2017, 01:41 


14/10/17
9
mihaild в сообщении #1255721 писал(а):
Можете ли вы записать условия достижения нормы для каждого из них?

Могу, но, если построить график, соединяющий точки $(x(t) , t)$ в которых достигается значение нормы для каждого из трех функционалов, то будет разрыв в в точке 0 (т.к. $x(-1)=1,  x(0)=-1$, подынтегральное $x(t) = 1$, соотв. на $t\in[0,1]$ $x(t) = 1$), что противоречит непрерывности исходного функционала. Надеюсь я понятно объяснил свою проблему :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение15.10.2017, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Нет, непонятно. Можете для начала хотя бы привести конкретные примеры функций, на которых достигается норма каждого из трёх функционалов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение15.10.2017, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
matlab в сообщении #1255718 писал(а):
У меня не получилось подобрать подходящую функцию x(t) на которой бы норма достигала бы значение 4.

А норма функционала вовсе не обязана достигаться на каком-то элементе единичного шара. Она заведомо достигается только в рефлексивных пространствах (обратное тоже верно), а $C[-1,1]$ таковым не является.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.10.2017, 02:22 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.10.2017, 19:49 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение15.10.2017, 20:01 


14/10/17
9
mihaild в сообщении #1255736 писал(а):
Нет, непонятно. Можете для начала хотя бы привести конкретные примеры функций, на которых достигается норма каждого из трёх функционалов?

Исходный функционал $f(x) =  x(-1) - 2x(0) + \int_{0}^1 x(t)dt$ разбиваем на:
$f_1(x) =  x(-1)$
$f_2(x) = - 2x(0)$
$f_3(x) = \int_{0}^1 x(t)dt$
Соответственно:
1) $|f_1(x)| =  |x(-1)| \leqslant \max_{[-1,1]}|x(t)| = 1||x||_{C[-1,1]} $. Получаем оценку $|f_1(x)| \leqslant 1||x||_{C[-1,1]}$, а значит $||f_1(x)|| \leqslant 1$. Подберем такое $x_1(t)$ чтобы $f_1 = x_1(-1) = 1$. Значение нормы достигается, если $x_1(t) = -t$. Повторим тоже самое для двух других функционалов.
2) для $f_2(x)$ получаем оценку $||f_2(x)|| \leqslant 2$. Подберем подходящую функцию для $f_2 = -2x_2(0) = 2$, подходит $x_2(t) = t-1$.
3) для $f_3(x)$ получаем оценку $||f_3(x)|| \leqslant 1$. Соответственно, $f_3(x) = \int_{0}^1 x_3(t)dt = 1$. Подходит $x_3(t) = 1$.
Верно рассуждаю?

-- 15.10.2017, 21:03 --

demolishka в сообщении #1255738 писал(а):
Она заведомо достигается только в рефлексивных пространствах (обратное тоже верно), а $C[-1,1]$ таковым не является.

В этом и проблема у меня. Не получается доказать, что достигается или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение15.10.2017, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
Да, правильно.
Теперь смотрим, как бы нам сделать $f(x)$ поближе к $4$ ($x$ на единичной сфере, естественно). Для этого нам надо сделать $f_1$ и $f_3$ поближе к $1$, а $f_2$ поближе к $2$.
По отдельности их приблизить несложно: для $f_1$ достаточно потребовать $x(-1) = 1$, для $f_2$ - $x(0) = -1$, для $f_3$ - $\forall t \in [0; 1]: x(t) = 1$.
Видим, что требование для $f_1$ вообще не зависит от требований для $f_2$ и $f_3$, так что его пока оставляем.
Требования для $f_2$ и $f_3$ противоречат друг другу - но может быть можно их как-то ослабить, и получить не ровно нужные нам числа, но почти их?
Например, давайте зафиксируем $x(0) = -1$. Как при этом можно сделать $f_3(x)$ побольше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение16.10.2017, 11:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
matlab в сообщении #1255888 писал(а):
Не получается доказать, что достигается или нет.

Доказывать надо примерно так. Во-первых, достаточно брать функцию с нормой, равной единице. Во-вторых, функционал на этой функции должен быть равен плюс четырём или минус четырём; допустим, плюс четырём. Эти требования задают значения функции вполне однозначно как на левом и на правом концах, так и внутри промежутка (если пока считать, что функция непрерывна именно внутри промежутка). Какой отсюда вывод?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение16.10.2017, 22:38 


14/10/17
9
mihaild в сообщении #1255932 писал(а):
Как при этом можно сделать $f_3(x)$ побольше?

Честно, не очень понимаю суть вопроса. Что значит "сделать побольше"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение16.10.2017, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9208
Цюрих
matlab в сообщении #1256213 писал(а):
Что значит "сделать побольше"?
Для как можно большего $t$ найти $x$ единичной нормы такой что $x(0) = -1, f_3(x) = t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение16.10.2017, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
matlab в сообщении #1256213 писал(а):
Что значит "сделать побольше"?

(Пдскзк)

Вложение:
2215.png
2215.png [ 35.08 Кб | Просмотров: 0 ]

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение17.10.2017, 11:30 


14/10/17
9
Dan B-Yallay в сообщении #1256235 писал(а):
(Пдскзк)

Теперь понятно. Спасибо большое!

-- 17.10.2017, 12:38 --

mihaild в сообщении #1256219 писал(а):
Для как можно большего $t$ найти $x$ единичной нормы такой что $x(0) = -1, f_3(x) = t$.

Благодаря подсказке выше, я понял в чем суть. Нужно значение интеграла устремить к 1 (т.к. площадь под графиком будет стремиться к 1). Но так и не смог найти подходящий $x(t)$ для $f_3(x(t))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму функционала
Сообщение18.10.2017, 15:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
matlab в сообщении #1256305 писал(а):
Но так и не смог найти подходящий $x(t)$ для $f_3(x(t))$.

Да не нужно никаких эф-третьих, нужна просто эф. Хоть на разрывных-то функциях значение нормы достигается или нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group