Найти норму функционала

[matlab]

Всем добрый вечер! Прошу помочь в решении задачи:
Имеется в пространстве $C[-1,1]$ (с нормой $||x|| = \max|x(t)|$) функционал $f(x) = x(-1) - 2x(0) + \int_{0}^1 x(t)dt$.
Доказал, что он линеен и ограничен (соответственно, непрерывен) и его норма не превосходит 4 (это точно верно): $||f|| \leqslant 4$. Как проверить достигается ли значение нормы? У меня не получилось подобрать подходящую функцию $x(t)$ на которой бы норма достигала бы значение 4.
Буду благодарен, если кто-нибудь подскажет как ее подобрать или доказать, что это значение недостижимо. Спасибо!

[mihaild]

Этот функционал представляется в виде трех функционалов (легко видно, каких). Можете ли вы записать условия достижения нормы для каждого из них?

[matlab]

mihaild в сообщении #1255721 писал(а):

Можете ли вы записать условия достижения нормы для каждого из них?

Могу, но, если построить график, соединяющий точки $(x(t) , t)$ в которых достигается значение нормы для каждого из трех функционалов, то будет разрыв в в точке 0 (т.к. $x(-1)=1, x(0)=-1$, подынтегральное $x(t) = 1$, соотв. на $t\in[0,1]$ $x(t) = 1$), что противоречит непрерывности исходного функционала. Надеюсь я понятно объяснил свою проблему

[mihaild]

Нет, непонятно. Можете для начала хотя бы привести конкретные примеры функций, на которых достигается норма каждого из трёх функционалов?

[demolishka]

matlab в сообщении #1255718 писал(а):

У меня не получилось подобрать подходящую функцию x(t) на которой бы норма достигала бы значение 4.

А норма функционала вовсе не обязана достигаться на каком-то элементе единичного шара. Она заведомо достигается только в рефлексивных пространствах (обратное тоже верно), а $C[-1,1]$ таковым не является.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[matlab]

mihaild в сообщении #1255736 писал(а):

Нет, непонятно. Можете для начала хотя бы привести конкретные примеры функций, на которых достигается норма каждого из трёх функционалов?

Исходный функционал $f(x) = x(-1) - 2x(0) + \int_{0}^1 x(t)dt$ разбиваем на:
$f_1(x) = x(-1)$
$f_2(x) = - 2x(0)$
$f_3(x) = \int_{0}^1 x(t)dt$
Соответственно:
1) $|f_1(x)| = |x(-1)| \leqslant \max_{[-1,1]}|x(t)| = 1||x||_{C[-1,1]} $. Получаем оценку $|f_1(x)| \leqslant 1||x||_{C[-1,1]}$, а значит $||f_1(x)|| \leqslant 1$. Подберем такое $x_1(t)$ чтобы $f_1 = x_1(-1) = 1$. Значение нормы достигается, если $x_1(t) = -t$. Повторим тоже самое для двух других функционалов.
2) для $f_2(x)$ получаем оценку $||f_2(x)|| \leqslant 2$. Подберем подходящую функцию для $f_2 = -2x_2(0) = 2$, подходит $x_2(t) = t-1$.
3) для $f_3(x)$ получаем оценку $||f_3(x)|| \leqslant 1$. Соответственно, $f_3(x) = \int_{0}^1 x_3(t)dt = 1$. Подходит $x_3(t) = 1$.
Верно рассуждаю?

-- 15.10.2017, 21:03 --

demolishka в сообщении #1255738 писал(а):

Она заведомо достигается только в рефлексивных пространствах (обратное тоже верно), а $C[-1,1]$ таковым не является.

В этом и проблема у меня. Не получается доказать, что достигается или нет.

[mihaild]

Да, правильно.
Теперь смотрим, как бы нам сделать $f(x)$ поближе к $4$ ($x$ на единичной сфере, естественно). Для этого нам надо сделать $f_1$ и $f_3$ поближе к $1$, а $f_2$ поближе к $2$.
По отдельности их приблизить несложно: для $f_1$ достаточно потребовать $x(-1) = 1$, для $f_2$ - $x(0) = -1$, для $f_3$ - $\forall t \in [0; 1]: x(t) = 1$.
Видим, что требование для $f_1$ вообще не зависит от требований для $f_2$ и $f_3$, так что его пока оставляем.
Требования для $f_2$ и $f_3$ противоречат друг другу - но может быть можно их как-то ослабить, и получить не ровно нужные нам числа, но почти их?
Например, давайте зафиксируем $x(0) = -1$. Как при этом можно сделать $f_3(x)$ побольше?

[ewert]

matlab в сообщении #1255888 писал(а):

Не получается доказать, что достигается или нет.

Доказывать надо примерно так. Во-первых, достаточно брать функцию с нормой, равной единице. Во-вторых, функционал на этой функции должен быть равен плюс четырём или минус четырём; допустим, плюс четырём. Эти требования задают значения функции вполне однозначно как на левом и на правом концах, так и внутри промежутка (если пока считать, что функция непрерывна именно внутри промежутка). Какой отсюда вывод?...

[matlab]

mihaild в сообщении #1255932 писал(а):

Как при этом можно сделать $f_3(x)$ побольше?

Честно, не очень понимаю суть вопроса. Что значит "сделать побольше"?

[mihaild]

matlab в сообщении #1256213 писал(а):

Что значит "сделать побольше"?

Для как можно большего $t$ найти $x$ единичной нормы такой что $x(0) = -1, f_3(x) = t$.

[Dan B-Yallay]

matlab в сообщении #1256213 писал(а):

Что значит "сделать побольше"?

(Пдскзк)

Вложение:

2215.png

[matlab]

Dan B-Yallay в сообщении #1256235 писал(а):

(Пдскзк)

Теперь понятно. Спасибо большое!

-- 17.10.2017, 12:38 --

mihaild в сообщении #1256219 писал(а):

Для как можно большего $t$ найти $x$ единичной нормы такой что $x(0) = -1, f_3(x) = t$.

Благодаря подсказке выше, я понял в чем суть. Нужно значение интеграла устремить к 1 (т.к. площадь под графиком будет стремиться к 1). Но так и не смог найти подходящий $x(t)$ для $f_3(x(t))$.

[ewert]

matlab в сообщении #1256305 писал(а):

Но так и не смог найти подходящий $x(t)$ для $f_3(x(t))$.

Да не нужно никаких эф-третьих, нужна просто эф. Хоть на разрывных-то функциях значение нормы достигается или нет?