2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
Sender в сообщении #1242316 писал(а):
Если интересно, могу потом выписать эти выражения.
Очень интересно! Нам обязательно нужно разбавить всю эту эмпирику аналитикой :D

Я могу добавить только одно пока: я проверил, что если вторую (и симметричную ей) точку немного прижать ближе к своему углу, то к этому ОМ легко добавляется 9-я точка. Я проверял при $L=100, \ a=10$. Понятно, что диапазон возможностей для 9-й точки сильно уже, но и он должен быть достаточным. Впрочем, это так, к слову, -- пока удобнее работать с $2^{d-1}$ точкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 13:10 
Заслуженный участник


14/01/11
1636
Догадался применить дополнительное упрощение, вид получился почти удобоваримый.
$$\left\{\begin{matrix}
L> \frac{4 a}{3 a-\sqrt{a (a+20)-20}-2},3<a\leq \sqrt{10^{2/3}+5+\frac{5^{4/3}}{2^{2/3}}};
\\ 
L>\frac{a}{2} \left(\sqrt{a^2-4}+a\right),a>\sqrt{10^{2/3}+5+\frac{5^{4/3}}{2^{2/3}}}
\end{matrix}\right.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
Sender
Вторая формула в точности соответствует эмпирике (а $L$ в ней очень хорошо приближает $a^2$).
С первой что-то не так. С ростом $a$ от 4 до 15 почему-то $L$ уменьшается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 16:54 
Заслуженный участник


14/01/11
1636
grizzly в сообщении #1242394 писал(а):
С первой что-то не так. С ростом $a$ от 4 до 15 почему-то $L$ уменьшается.

Эм, это вы про $L> \frac{4 a}{3 a-\sqrt{a (a+20)-20}-2}$? Ну так она работает только при $3<a\leq \sqrt{10^{2/3}+5+\frac{5^{4/3}}{2^{2/3}}}$, т.е. при $a<4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
Sender
Точно, сорри (это я корень для $a$ прозевал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
У меня есть вопрос, возможно, несколько наивный (заранее извиняюсь). Проверял ли кто-нибудь, существует ли множество в $\mathbb R^d$ с указанным свойством среди малых возмущений $(d-1)$-мерного куба?

Мне кажется, что достаточным условием будет наличие для каждой вершины открытого множества направлений, при малом сдвиге на которые все углы с участием этой вершины станут острыми. И для каждой точки это будет проверкой непустоты пересечения набора полупространств, что можно сделать с помощью линейного программирования или даже аналитически достаточно быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
g______d в сообщении #1242438 писал(а):
У меня есть вопрос, возможно, несколько наивный (заранее извиняюсь).
Добро пожаловать в наш танк :D
g______d в сообщении #1242438 писал(а):
Проверял ли кто-нибудь, существует ли множество в $\mathbb R^d$ с указанным свойством среди малых возмущений $(d-1)$-мерного куба?
Последние пару месяцев только этим и занимаемся -- здесь все разговоры как раз об этом. С тех пор как была выдвинута гипотеза $|S_d|=2^{d-1}+1$. Собственно, от идеи такого куба и пошла гипотеза (в частности, так строится вся эмпирика).
g______d в сообщении #1242438 писал(а):
Мне кажется, что достаточным условием будет наличие для каждой вершины открытого множества направлений, при малом сдвиге на которые все углы с участием этой вершины станут острыми.
Upd. Допустим так. Какой-то набор квази-конусов, вытянутых в направлении $d$. Идея интересная. Каждое из множеств открыто, но можно ли из этого делать вывод о существовании пересечения? После движения одной точки какие-то направления просто исчезают. Нам нужно не просто множество таких направлений, но чтобы какая-то его открытая часть была достаточно жирной. Тогда не совсем понятно, как это упрощает общую задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
grizzly в сообщении #1242446 писал(а):
Upd. Допустим так. Какой-то набор квази-конусов, вытянутых в направлении $d$. Идея интересная. Каждое из множеств открыто, но можно ли из этого делать вывод о существовании пересечения? После движения одной точки какие-то направления просто исчезают. Нам нужно не просто множество таких направлений, но чтобы какая-то его открытая часть была достаточно жирной. Тогда не совсем понятно, как это упрощает общую задачу.


Может быть, надо не "все углы", а "все треугольники с участием этой вершины". Но, возможно, это слишком сильное требование. Надо ещё подумать. Мне казалось, что задача должна линеаризовываться в окрестности куба, но я, возможно, был слишком оптимистичен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 23:20 
Заслуженный участник


14/01/11
1636
g______d в сообщении #1242438 писал(а):
И для каждой точки это будет проверкой непустоты пересечения набора полупространств, что можно сделать с помощью линейного программирования или даже аналитически достаточно быстро.

Можно рассмотреть простой пример, чтобы говорить предметнее. Возьмём квадрат в 3-мерном пространстве с координатами вершин $(-1,-1,0),(-1,1,0),(1,-1,0),(1,1,0)$. Немного сместим 1-ю вершину на $x_1,x_2,x_3,$ оставив остальные на месте. Тогда координаты вершин $(x_1-1,x_2-1,x_3),(-1,1,0),(1,-1,0),(1,1,0).$ Мы хотим, чтобы все скалярные произведения векторов с участием 1-й вершины были положительными, тогда: $(x_1-1)^2+(x_2-1)^2+x_3^2>2$, $x_1>0$, $x_2>0$. Множество непусто, хотя и не содержит желаемого конуса. Возможно, это могло бы послужить подсказкой алгоритму grizzly, под каким фонарём искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение22.08.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
Да, я могу сформулировать более конкретно. Рассмотрим все координаты всех точек как вектор в пространстве размерности $d 2^{d-1}$. Для каждой вершины каждого треугольника напишем квадратичный функционал вида $a^2+b^2-c^2$. На кубе какие-то из этих функционалов положительные, какие-то равны нулю. На положительные мы можем забить (при малых возмущениях они останутся положительными). Те, которые равны нулю, половина направлений (в большом пространстве) сделает положительными, половина направлений отрицательными (ещё будут сколько-то направлений, которые либо сохранят его значение, либо сохранят в первом порядке, т. е. касаются конуса, но мы на них забьём, т. к. это множество меньшей размерности).

Таким образом, мы получаем задачу о тривиальности/нетривиальности пересечения полупространств.

-- Вт, 22 авг 2017 13:35:35 --

Преимущество, на мой взгляд, в том, что это можно загнать в linear programming solver.

Единственная возможная проблема (опять же, на мой наивный взгляд) -- если вдруг окажется, что пересечение открытых полупространств пусто, а замкнутых непусто, тогда линеаризации недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение23.08.2017, 08:51 
Заслуженный участник


14/01/11
1636
Ага, кажется, улавливаю. Для начала возьмём тот же самый квадрат из моего предыдущего примера с добавками ко всем вершинам(немного изменил порядок вершин, чтобы пронумеровать в направлении обхода): $(x_1-1,y_1-1,z_1),(x_2-1,y_2+1,z_2),(x_3+1,y_3+1,z_3),(x_4+1,y_4-1,z_4)$. Функционал для 1-й вершины $s=(x_2-x_1)(x_4-x_1+2)+(y_2-y_1+2)(y_4-y_1)+(z_2-z_1)(z_4-z_1)$. Касательная плоскость в нуле: $-x_1+x_2-y_1+y_4=0.$ Нас интересует полупространство $-x_1+x_2-y_1+y_4>0$, так? Если да, то, боюсь, этот подход не очень поможет: мы ничего не можем сказать по поводу последней координаты (z в данном случае), а оставаясь в $\mathbb R^{d-1}$, мы не получим ОМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение23.08.2017, 09:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4378
g______d,
Сама конфигурация вершин $d-1$-куба соответствует одной точке в рассматриваемом Вами пространстве размерности $d 2^{d-1}$. Это либо изолированная точка, либо граничная точка подходящего нам (непустого) пересечения. Мне совсем неочевидно, что анализ такого пересечения должен быть каким-то простым.

На всякий случай уточню, что если при замене $d-1$ в этом анализе на $d-k$ с любым фиксированным $k$ удастся доказать, что $2^{d-k}$ точек (чуть сдвинутых вершин $d-k$-мерного куба) в пространстве размерности $R^d$ дают в этом пространстве ОМ, то это тоже будет самое существенное продвижение в рассматриваемой задаче после работ Эрдёша с Фюреди 35 летней давности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение23.08.2017, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
Sender в сообщении #1242497 писал(а):
Касательная плоскость в нуле: $-x_1+x_2-y_1+y_4=0.$


Надо не в нуле, а в точке

Sender в сообщении #1242460 писал(а):
$(-1,-1,0),(-1,1,0),(1,-1,0),(1,1,0)$


-- Ср, 23 авг 2017 06:42:43 --

grizzly в сообщении #1242500 писал(а):
Мне совсем неочевидно, что анализ такого пересечения должен быть каким-то простым.


Казалось бы, проверить непустоту пересечения явно заданных полупространств. Может быть, конечно, алгоритмы не такие быстрые, но это немного странно.

grizzly в сообщении #1242500 писал(а):
На всякий случай уточню, что если при замене $d-1$ в этом анализе на $d-k$ с любым фиксированным $k$ удастся доказать, что $2^{d-k}$ точек (чуть сдвинутых вершин $d-k$-мерного куба) в пространстве размерности $R^d$ дают в этом пространстве ОМ, то это тоже будет самое существенное продвижение в рассматриваемой задаче после работ Эрдёша с Фюреди 35 летней давности.


Мне скорее кажется более реалистичным, что там по какие-то причинам пересечение вырождается...

-- Ср, 23 авг 2017 06:59:30 --

А, ну, похоже, вырождается. Если, действительно, посмотреть на квадрат в $\mathbb R^3$, то понятно, что никуда, кроме как по $z$, там двигаться нельзя, т. е. пересечение имеет существенно меньшую размерность, чем нужно.

-- Ср, 23 авг 2017 07:01:53 --

Sender в сообщении #1242460 писал(а):
Множество непусто, хотя и не содержит желаемого конуса.


Да, не содержит... Ну ладно. Было бы странно, если иначе, на самом деле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение23.08.2017, 18:30 
Заслуженный участник


14/01/11
1636
g______d в сообщении #1242573 писал(а):
Надо не в нуле, а в точке

Sender в сообщении #1242460

писал(а):
$(-1,-1,0),(-1,1,0),(1,-1,0),(1,1,0)$


Я, наверное, неточно выразился. Имелось в виду при $(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$, что в выражении
Sender в сообщении #1242497 писал(а):
$(x_1-1,y_1-1,z_1),(x_2-1,y_2+1,z_2),(x_3+1,y_3+1,z_3),(x_4+1,y_4-1,z_4)$

и даст $(-1,-1,0),(-1,1,0),(1,1,0),(1,-1,0)$ (я перенумеровал точки квадрата в порядке обхода по контуру).

 Профиль  
                  
 
 Re: Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам
Сообщение23.08.2017, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4483
Sender в сообщении #1242585 писал(а):
Я, наверное, неточно выразился.


Нет, всё правильно, я просто плохо прочитал.

Действительно, тот факт, что сдвиг по $z$ в указанном примере нам помогает, является квадратичным и не виден на уровне линейного приближения. С квадратичными всё намного хуже, конечно: в общем случае это, кажется, NP-сложная задача.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group