2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение04.05.2017, 01:36 


12/10/11
56
Добрый вечер.
Столкнулся с казалось бы простой проблемой, но ломаю голову уже достаточно долго.
Решаю задачу о классической динамике молекулярной системы в подвижной системе отсчета. В результате я получаю зависимости $\vec{\Omega}(t)$ и $\vec{J}(t)$ (оба вектора в проекции на подвижную систему отсчета). Вектор углового момента является интегралом движения, то есть в проекции на лабораторную систему отсчета имею следующее (обозначу маленькой буквой) $\vec{j} = \operatorname{const}$. Вопрос в следующем, я хочу переводить вектора из подвижной системы в лабораторную, то есть, хочется найти компоненты матрицы $\mathbb{S}$ такой, что: $\vec{J} = \mathbb{S} \vec{j}$ (понятно, что $\mathbb{S} = \mathbb{S}(t)$. Предполагается, что в начальный момент времени подвижная и лабораторная система совмещены, то есть я знаю $\vec{j} = \vec{J}(0)$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение04.05.2017, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1148
artfin, добрый день.
Вообще, в задачах о динамике молекулярных систем в вакууме (т.е. модель -- это летящая молекулка, которую никто не трогает), лабораторной системой координат (или ЛСК) принято обозначать систему координат, начало отсчёта которой находится в центр масс молекулы. Так что вопрос, что ещё подвижно. Второй вопрос -- это какая именно подвижная система отсчёта, т.к. из стандартных систем координат имеется ещё т.н. молекулярная система координат (МСК), которая не является неинерциальной, которая особым образом "привязана" к вращающейся молекуле.
Но, в общем случае у Вас преобразование любого вектора из одной системы координат (обозначим её как $a$) в другую ($b$) даётся выражением (при условии, что Вы требуете сохранения всех расстояний между частицами):
$\mathbf{r}^{(b)}=\mathbb{S}\mathbf{r}^{(a)} + \mathbf{R}$, где $\mathbb{S}$ -- матрица поворота, а $\mathbf{R}$ -- вектор сдвига. Для псевдовекторов, которым и является момент импульса, можно пойти следующим путём для поиска преобразования:
  1. взять 2 вектора $\mathbf{r}_1^{(a)} \rightarrow \mathbf{r}_1^{(b)}, \ \mathbf{r}_2^{(a)} \rightarrow \mathbf{r}_2^{(b)}$;
  2. посчитать векторные произведения $[\mathbf{r}_1^{(a)} \times \mathbf{r}_2^{(a)} ]$ и $[\mathbf{r}_1^{(b)} \times \mathbf{r}_2^{(b)} ]$
  3. найти матрицу преобразования $\mathbb{S}'$, связывающую их: $ \mathbb{S}' [\mathbf{r}_1^{(a)} \times \mathbf{r}_2^{(a)} ] = [\mathbf{r}_1^{(b)} \times \mathbf{r}_2^{(b)} ] $. Для этого надо подставить $\mathbf{r}_i^{(b)}=\mathbb{S}\mathbf{r}_i^{(a)} + \mathbf{R}$ и выражать компоненты нового векторного произведения через компоненты старого.

(спойлер)

емнип, в случае прехода ЛСК $\rightarrow$ МСК, т.е. когда $\mathbf{R} = 0$, а $\det (\mathbb{S}) = 1, \ S_{ij} \in \mathbb{R}$ (т.е. это просто поворот осей), матрица преобразования псевдовекторов $\mathbb{S}' = \mathbb{S}$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение04.05.2017, 11:34 


12/10/11
56
Да, ЛСК я называю систему координат, начало отсчета которой находится в центре масс молекулы. Подвижной системой называю неинерциальную систему координат, которая вращается вместе с молекулярной системой. Поэтому вектор сдвига нулевой: $$\mathbf{R} = \vec{0}$$
Проблема в том, что в произвольный момент времени я не знаю двух векторов одновременно в ЛСК и МСК. Угловой момент является интегралом движения, поэтому я знаю, что его направление фиксировано в ЛСК, и знаю его динамику в МСК. Так что один вектор имеется, а вот второй найти не удается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение04.05.2017, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1148
А каким конкретно Макаром Вы ввели МСК? :? Её задание, по-сути, определяется получением соответствующей матрицы преобразования...

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение04.05.2017, 20:59 


12/10/11
56
Изображение

Система палочка -- атом (типа CO2 - He), ось OX соединяет центральный атом палочки с внешним атомом, ось OY перпендикулярна ей и проходит через центр масс системы. (Ось OZ, соответственно, перпендикулярна обеим.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение05.05.2017, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1148
artfin в сообщении #1214138 писал(а):
Система палочка -- атом (типа CO2 - He)

Т.е. колебания в $\mathrm{CO_2}$ заморожены? Иначе, у Вас центр масс смещается с оси $\mathrm{C \cdots He}$... :roll:
А при этом то, координаты в ЛСК Вам известны?
Вообще, можете чуууть поподробнее расписать задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение05.05.2017, 11:55 


12/10/11
56
Да, колебания $CO_2$ считаю замороженными (собственно, поэтому я эту систему назвал "атом" + "палочка").

Задача поподробнее. В МСК записываю точный колебательный вращательный гамильтониан, в котором $\mathbf{q}$ -- вектор внутренних координат, $\mathbf{p}$ -- вектор сопряженных им импульсов, $\mathbf{J}$ -- вектор углового момента (в МСК):
$$
\mathcal{H}_{rovib.} = \mathcal{H}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, \mathbf{J})
$$
На основе гамильтониана составляю следующую систему динамических уравнений (1), представляющую собой совокупность уравнений Гамильтона и обобщенных уравнений Эйлера:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\dot{\mathbf{q}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}} \\
& \dot{\mathbf{p}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} \\
&\dot{\mathbf{J}} + \left [ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{J}} \times \mathbf{J} \right] = 0
\end{aligned}
\right.
$$
Последнее уравнение представляет собой закон сохранения углового момента в подвижной системе отсчета; основано на следующих соотношениях, полученных по теореме Донкина:
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathbf{J} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\Omega}} \\
\mathbf{\Omega} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{J}}
\end{aligned}
\right.
$$
То есть, при решении системы (1) получаем классическую траекторию:
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathbf{J} = \mathbf{J}(t) \\
\mathbf{q} = \mathbf{q}(t) \\
\mathbf{p} = \mathbf{p}(t)
\end{aligned}
\right.
$$

Параметризация ориентации подвижной СК относительно ЛСК осуществлена при помощи 3 углов Эйлера (в стандартной форме из Голдстейна). Ортогональная матрица $\mathbb{S}$ принимает следующий вид:
$$
\mathbb{S} = 
\begin{bmatrix}
\cos \psi & \sin \psi & 0 \\
-\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & \sin \theta \\
0 & -\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0 \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
$$
\mathbf{a}_{\text{МСК}} = \mathbb{S} \mathbf{a}_{\text{ЛСК}}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение05.05.2017, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1148
artfin в сообщении #1214233 писал(а):
Параметризация ориентации подвижной СК относительно ЛСК осуществлена при помощи 3 углов Эйлера (в стандартной форме из Голдстейна).

Ну и что же Вас не устраивает?
madschumacher в сообщении #1213996 писал(а):
емнип, в случае прехода ЛСК $\rightarrow$ МСК, т.е. когда $\mathbf{R} = 0$, а $\det (\mathbb{S}) = 1, \ S_{ij} \in \mathbb{R}$ (т.е. это просто поворот осей), матрица преобразования псевдовекторов $\mathbb{S}' = \mathbb{S}$. :wink:

т.е. если у Вас известны углы Эйлера для перевода векторов из ЛСК в МСК, то перевод псевдовекторов углового момента осуществляется при помощи той же матрицы. :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение05.05.2017, 16:59 


12/10/11
56
Не устраивает то, что мне известны зависимости $\mathbf{q} = \mathbf{q}(t)$, $\mathbf{p} = \mathbf{p}(t)$, $\mathbf{J} = \mathbf{J}(t)$, а вот зависимости эйлеровых углов от времени мне неизвестны. Я могу, разумеется, записать все то же уравнение закона сохранения углового момента в ПСК:
$$
\dot{\mathbf{J}} + \left[ \mathbf{\Omega} \times \mathbf{J} \right] = 0
$$
и подставить в него угловую скорость как функцию $\mathbf{\Omega} = \mathbf{\Omega}(\mathbf{e}, \dot{\mathbf{e}})$ (эйлеровых углов и эйлеровых скоростей), но решать еще одну систему дифференцальных уравнений лишь для того, чтобы перейти в лабораторную систему отсчета кажется не самым вычислительно оправданным способом. Хочется найти алгебраический способ перевода, если такой имеется, или, в противном случае, максимально упростить задачу решения ДУ (свести количество ДУ к минимуму).

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение05.05.2017, 22:53 
Заслуженный участник


23/07/08
7063
Харьков
artfin в сообщении #1214299 писал(а):
Хочется найти алгебраический способ перевода, если такой имеется
Думаю, нет. Рассмотрим вращение классического твёрдого тела вокруг неподвижного центра масс (Сивухин, Механика, §54 «Вращение твёрдого тела по инерции вокруг неподвижной точки»). С твёрдым телом жёстко связан его эллипсоид инерции. При вращении тела вектор угловой скорости описывает замкнутую кривую (полодию) на поверхности эллипсоида. Когда вектор угловой скорости возвращается в исходную точку по отношению к эллипсоиду (т.е. к подвижной системе), само твёрдое тело совершенно не обязано возвращаться к исходному положению. Это особенно очевидно в важном частном случае, когда угловая скорость и момент импульса вообще неподвижны относительно системы, связанной с телом. Так как тело при этом вращается, матрица перехода $\mathbb S$, связывающая координаты неподвижной и подвижной систем, непрерывно меняется. Это значит, что матрица перехода в момент $t$ не определяется текущими значениями $\mathbf{\Omega}(t)$ и $\mathbf{J}(t)$, а зависит от предыстории. То есть без дифференциального уравнения не обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение05.05.2017, 23:22 


12/10/11
56
Интересно, соглашусь с Вами.

А можете пояснить в чем может быть ошибка в следующем подходе. Рассмотрим в момент времени $t$ два вектора $\mathbf{J}(t)$ (проекция на МСК) и $\mathbf{j}$ (в ЛСК). Матрица $\mathbb{S}(t)$ переводит первый вектор во второй (точнее говоря, преобразует координаты в МСК в координаты в ЛСК, т.к. вектор-то один и тот же):
$$
\mathbf{J} = \mathbb{S} \mathbf{j}
$$
Заметим, что матрица $\mathbb{S}$ параметризована тремя эйлеровыми углами, таким образом это соотношение превращается в систему из 3 уравнений относительно $\phi$, $\theta$, $\psi$. Как только мы разрешили эту систему относительно них (или их косинусов, синусов, не важно, оставляем за скобками саму вычислительную процедуру), то мы можем собрать матрицу $\mathbb{S}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение05.05.2017, 23:44 
Заслуженный участник


23/07/08
7063
Харьков
Матрица $\mathbb S$, входящая в уравнение $\mathbf{J} = \mathbb{S} \mathbf{j}$, ортогональна. Это гарантирует, что $|\mathbf J|=|\mathbf j|$ (или накладывает ограничение на пары ($\mathbf{J}, \mathbf{j}$), для которых уравнение разрешимо относительно углов Эйлера). Поэтому из трёх скалярных уравнений независимых будет только два. Если при некотором выборе углов Эйлера справедливо
$J_x=(\mathbb{S} \mathbf{j})_x$,
$J_y=(\mathbb{S} \mathbf{j})_y$,
то автоматически
$J_z=\pm(\mathbb{S} \mathbf{j})_z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение06.05.2017, 00:59 
Заслуженный участник


23/07/08
7063
Харьков
Или так. Зададим два единичных вектора, $\mathbf a$ и $\mathbf b$. Назовём вращение $\mathsf P$ подходящим, если $\mathsf P\mathbf a=\mathbf b$. Это уравнение не определяет вращение $\mathsf P$ однозначно: совершив подходящее вращение, можно ещё повернуть подвижную систему координат вокруг оси $\mathbf b$ на произвольный угол, и мы получим другое подходящее вращение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение07.05.2017, 15:24 


12/10/11
56
Попытка смешанного алгебраического и дифференциального подхода.

Мы можем использовать сохранение вектора углового момента для нахождения пары углов Эйлера. Сделаем это следующим образом. Ориентируем лабораторную систему координат в начальный момент времени таким образом, что $\mathbf{j}$ ориентирован вдоль оси $OZ$. Матрица, связывающие координаты векторов в лабораторной и подвижной системах координат выглядит следующим образом:
$$
\mathbf{J} = \mathbb{S}^{-1} \mathbf{j} = \mathbb{S}^{-1} 
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
J
\end{bmatrix}
$$
$$
\mathbb{S} = 
\begin{bmatrix}
\cos \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \sin \psi & \cos \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \sin \psi & \sin \psi \sin \theta \\
-\sin \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \cos \psi & - \sin \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \cos \psi & \cos \psi \sin \theta \\
\sin \theta \sin \varphi & - \sin \theta  \cos \varphi & \cos \theta
\end{bmatrix}
$$

Так как матрица $\mathbb{S}$ ортогональна, то $\mathbb{S}^{-1} = \mathbb{S}^\top$. Итак, получаем следующие соотношения на углы $\theta$, $\psi$:
$$
\left\{
\begin{aligned}
J_x &= J \sin \psi \sin \theta \\
J_y &= J \cos \psi \sin \theta \\
J_z &= J \cos \theta
\end{aligned}
\right.
$$

Рассмотрим соотношение между вектором угловой скорости и вектором эйлеровых скоростей:
$$
\mathbf{\Omega} = \mathbb{V} \dot{\mathbf{e}} = 
\begin{bmatrix}
\sin \theta \sin \psi & \cos \varphi & 0 \\
\sin \theta \cos \psi & - \sin \psi & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\dot{\varphi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{bmatrix} 
$$
$$
\dot{\mathbf{e}} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\sin \psi}{\sin \theta} & \frac{\cos \psi}{\sin \theta} & 0 \\
\cos \psi & -\sin \psi & 0 \\
- \sin \psi \ctg \theta & -\cos \psi \ctg \theta & 1
\end{bmatrix}
\mathbf{\Omega}
$$

Вытаскиваем из последнего соотношения выражение для $\dot{\varphi}$:
$$
\dot{\varphi} = \frac{1}{\sin \theta} \left( \Omega_x \sin \psi + \Omega_y \cos \psi \right)
$$
Выразим отношения $\displaymode \frac{\sin \psi}{\sin \theta}$ и $\displaymode \frac{\cos \psi}{\sin \theta}$ через компоненты углового момента:
$$
\dot{\varphi} = J \times \frac{J_x \Omega_x + J_y \Omega_y}{J_x^2 + J_y^2}
$$
Интегрируя, получаем значения угла $\varphi(t)$:
$$
\varphi(t) = J \times \int_0^t \frac{J_x(\xi) \Omega_x (\xi) + J_y(\xi) \Omega_y(\xi)}{J_x^2(\xi) + J_y^2(\xi)} d \xi
$$

Выражаю компоненты матрицы $\mathbb{S}$ через компоненты вектора углового момента:
$$
\mathbb{S} = 
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sin \theta} \left( \frac{J_y}{J} \cos \varphi - \frac{J_x J_z}{J^2} \sin \varphi \right) & - \frac{1}{\sin \theta} \left( \frac{J_x}{J} \cos \varphi + \frac{J_y J_z}{J^2} \sin \varphi \right) & \sin \theta \sin \varphi \\
\frac{1}{\sin \theta} \left( \frac{J_y}{J} \sin \varphi + \frac{J_x J_z}{J^2} \cos \varphi \right) & \frac{1}{\sin \theta} \left( - \frac{J_x}{J} \sin \varphi + \frac{J_y J_z}{J^2} \cos \varphi \right) & - \sin \theta \cos \varphi \\
\frac{J_x}{J} & \frac{J_y}{J} & \frac{J_z}{J}
\end{bmatrix}
$$

Знак в $\sin \theta = \pm \sqrt{1 - \left( \frac{J_z}{J} \right)^2}$, видимо, определяется из непрерывности..

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение08.05.2017, 03:07 
Заслуженный участник


23/07/08
7063
Харьков
artfin, я не вникал ещё в Ваш вывод. Позже прочитаю внимательно, а сейчас хотел бы описать свой подход. Он в чём-то противоположен Вашему, и может быть Вам интересен.
Обозначения. Базисы лабораторной и подвижной систем ортонормированные. Величины (или отдельные индексы), помеченные тильдой, относятся к подвижной системе. В качестве примера — разложение вектора $\mathbf a$ по базисным векторам лабораторной и подвижной систем:
$\mathbf a=a_i\mathbf e_i=\tilde a_k\tilde{\mathbf e}_k$
При этом
$\tilde{\mathbf e}_k=\mathbf e_i\,S_{i\tilde k}\quad\quad a_i=S_{i\tilde k}\,\tilde a_k$

Пусть компоненты вектора $\mathbf a$ в подвижной системе (т.е. $\tilde a_k$) не зависят от времени. Тогда
$\frac d{dt}\mathbf a=\boldsymbol{\omega}\times \mathbf a$
В частности, это справедливо для базисных векторов подвижной системы:
$\frac d{dt}\tilde{\mathbf e}_k=\boldsymbol{\omega}\times \tilde{\mathbf e}_k$
Левая часть равна $\mathbf e_i\frac{d}{dt}S_{i\tilde k}$, так как $\mathbf e_i$ от времени не зависят.
Правая часть равна
$\tilde\omega_m \tilde{\mathbf e}_m\times\tilde{\mathbf e}_k=\tilde\omega_m\,\tilde\varepsilon_{jmk}\,\tilde{\mathbf e}_j=\tilde\omega_m\tilde\varepsilon_{jmk}\, \mathbf e_i\,S_{i\tilde j}$ ,
где $\varepsilon$ — символ Леви-Чивита. Приравнивая, получим в силу линейной независимости $\mathbf e_i$:
$\frac{d}{dt}S_{i\tilde k}=S_{i\tilde j}\,\tilde B_{jk}$, где $\tilde B_{jk}=\tilde\omega_m\,\tilde\varepsilon_{jmk}$.
Или, в матричном виде,
$\frac{d}{dt}S=SB$, где $B=\begin{bmatrix}0&-\tilde\omega_z&+\tilde\omega_y\\+\tilde\omega_z&0&-\tilde\omega_x\\-\tilde\omega_y&+\tilde\omega_x&0\end{bmatrix}$

Решив это уравнение с начальным условием $S(0)=E$, мы можем вычислить $J_i=S_{i\tilde k}\,\tilde J_k$ и проверить, что они не зависят от времени.
Таким образом, для нахождения $S$ используется только угловая скорость, а информация о моменте импульса используется для верификации решения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group