artfin, я не вникал ещё в Ваш вывод. Позже прочитаю внимательно, а сейчас хотел бы описать свой подход. Он в чём-то противоположен Вашему, и может быть Вам интересен.
Обозначения. Базисы лабораторной и подвижной систем ортонормированные. Величины (или отдельные индексы), помеченные тильдой, относятся к подвижной системе. В качестве примера — разложение вектора

по базисным векторам лабораторной и подвижной систем:

При этом

Пусть компоненты вектора

в подвижной системе (т.е.

) не зависят от времени. Тогда

В частности, это справедливо для базисных векторов подвижной системы:

Левая часть равна

, так как

от времени не зависят.
Правая часть равна

,
где

— символ Леви-Чивита. Приравнивая, получим в силу линейной независимости

:

, где

.
Или, в матричном виде,

, где

Решив это уравнение с начальным условием

, мы можем вычислить

и проверить, что они не зависят от времени.
Таким образом, для нахождения

используется только угловая скорость, а информация о моменте импульса используется для верификации решения.