2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение03.05.2017, 09:20 


02/05/17
2
Оригинальный результат. Публикуется впервые.

Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве (рассматриваем вращения вокруг осей, проходящих через начало координат):

Для двух вращений $\{ \vec a , \alpha \}$ и $\{ \vec b , \beta \}$, где $\vec a$ и $\vec b$ - единичные направляющие осей, а $\alpha$ и $\beta$ - углы поворота, результирующий угол поворота $\gamma$ определяется по формуле
$$ cos\,\frac \gamma 2 = cos\,\frac \alpha 2 ~ cos\,\frac \beta 2 - \vec a \cdot \vec b ~ sin\,\frac \alpha 2 ~ sin\,\frac \beta 2 $$
Направление оси результирующего вращения задается вектором
$$ \vec C = \vec a ~ sin\,\frac \alpha 2 ~ cos\,\frac \beta 2 + \vec b ~ sin\,\frac \beta 2 ~ cos\,\frac \alpha 2 + \vec a \times \vec b ~ sin\,\frac \alpha 2 ~ sin\,\frac \beta 2 $$
Вектор $\vec C $ из приведенного выражения не единичный. Единичный вектор оси результирующего вращения $\vec c $ (например, для использования в формулах матрицы ортогонального преобразования) получается обычным нормированием: $\vec c = \frac {\vec C} {\vert \vec C \vert} $. Явное выражение нормы $\vert \vec C \vert $ довольно громоздко и прикладного значения не имеет, поэтому здесь не приводится.

Приведенные формулы получаются из простых геометрических рассмотрений: в формуле угла легко угадывается теорема сферических косинусов (она действительно из нее следует). Вывод формулы направления оси требует немного больше геометрии.

Некоторые следствия:

1. Результирующий угол не зависит от порядка вращений.
2. Результирующая ось при изменении порядка вращений зеркально отражается от общей плоскости осей компонент.
3. Если углы поворота одинаковые, то результирующая ось, в зависимости от знаков углов, лежит в одной из двух биссектральных плоскостей, перпендикулярных общей плоскости осей компонент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение03.05.2017, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12919
Москва
Pluto в сообщении #1213814 писал(а):
Оригинальный результат. Публикуется впервые.

Наконец-то мы наглядно видим кухню "великих" открытий! :D Поворот вокруг оси является движением, то есть задается трехмерной ортогональной матрицей специального вида. Композиция двух поворотов задается произведением двух таких ортогональных матриц. Умножил две ортогональные матрицы - и готов "оригинальный результат", нужно скорее его "впервые опубликовать"!!! :shock: :D
БУ-ГА-ГА!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение03.05.2017, 11:00 
Модератор


19/10/15
1063
См.
Ollinde Rodriguez, "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace: et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire", Journal de mathématiques pures et appliquées, 5, pp. 380-440, 1840 год.
Simon L. Altmann, "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal", Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 5, pp. 291-308, 1989.


Вложения:
Комментарий к файлу: Отрывок из статьи Альтмана по истории математики
tt.png
tt.png [ 108.44 Кб | Просмотров: 0 ]
Комментарий к файлу: Отрывок из статьи Родригеза
t.png
t.png [ 21.91 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение03.05.2017, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21085
Уфа
Оси-оси… Между прочим, подобный фокус проворачивали (и весьма механическим алгебраическим способом) уже и в многомерном евклидовом пространстве, и даже многомерных с индефинитной метрикой. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение03.05.2017, 16:43 


02/05/17
2
Благодарю за информацию!
Про "оригинальный результат" - это так, на всякий случай. Просто нигде больше я этих формул не нашел, а вещь практически полезная. Пришлось выводить самому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение03.05.2017, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21085
Уфа
Если вам будет интересен общий случай, отправиться можно от
https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group (точнее, https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group#Double_covering, но придётся всё равно читать определения выше);
https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_of_rotation#Mathematical_properties (выше про экспоненту и логарифм не упомянуто, и это не очевидно, если не разбираться в связи алгебр и групп Ли, однако можно определить и использовать без них).

 Профиль  
                  
 
 Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение03.05.2017, 19:32 


31/12/15
203
Вот это почитайте
Популярная книга по-русски

-- 03.05.2017, 19:36 --

и если понравится, потом вот это
Основательная книга по-английски

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства композиции двух вращений в 3-х мерном пространстве
Сообщение04.05.2017, 15:40 


31/12/15
203
Вспомнил, как это излагать. Поворот представляется вектором, направленным вдоль оси и с длиной, равной тангенсу половинного угла. Тогда произведение поворотов находится с помощью простой формулы Родригеса (во второй книжке, что я дал, она точно есть). Но повороты на 180 градусов уходят в бесконечность, тангенс половинного угла бесконечный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group