2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 07:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3406
mihaild в сообщении #1210593 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1210569 писал(а):
Есть. Кажется, оно написано в учебнике Л.И. Камынина.
Там ссылка непонятно куда. (а еще неправильное определение - забыта архимедовость)

Ничего не забыто. Архимедовость является следствием других аксиом, ниже она сформулирована в виде теоремы. Аксиома полноты у Камынина - существование у каждого непустого ограниченного сверху множества точной верхней грани.

-- Ср апр 19, 2017 10:28:07 --

Под полнотой еще часто подразумевают теорему о том, что каждая фундаментальная последовательность имеет предел, эквивалентно - принцип Кантора о вложенных отрезках. Тогда архмедовость надо дополнительно постулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1166
Про все эти отношения аксиом есть хорошая методическая статья: Real analysis in reverse.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 13:44 
Аватара пользователя


16/03/17
46
kp9r4d в сообщении #1210728 писал(а):
Про все эти отношения аксиом есть хорошая методическая статья: Real analysis in reverse.

Спасибо за ссылку, с первого взгляда интересно, почитаю.

Кстати, насчет отношений между определениями, аксиомами, теоремами и прочим. Я всегда удивлялся, почему их (почти никогда) не изображают графами и блок-схемами:
- Такие-то определения/понятия - так выстраиваются по степени общности на лестнице абстракций (простой пример попытался привести словами в post1210671.html#p1210671, но там все слишком просто, в более запутанных случаях это полезнее).
- Такие-то определения/аксиомы - основной аргумент (способ доказательства) в таких-то теоремах.
- Такие-то аксиомы/теоремы эквиваленты между собой.
- Такие-то теоремы так между собой связаны
- Такие-то примеры относятся к таким-то понятиям или теоремам (иногда сразу к нескольким, объединяя их между собой)
и т.д.

Когда я, уже довольно давно, учил что-то - всегда старался изобразить подобные схемы и связи. Благодаря этому все понималось гораздо лучше, а значит и запоминалось, становилось "своим". Конечно, не всегда это было строго, но оставшиеся детали легко восстанавливались. В мозгу же хранятся не длинные доказательства или многоэтажные формулы с кучей букв и индексов, а простые идеи, структуры, связи и картинки, примерно как на подобных схемах с основными идеями.

В каком-то смысле это близко к идеям и диаграммам в теории категорий :) В данном случае эти диаграммы скорее на понятийном поле определений, аксиом, лемм и теорем, но иногда такие связи между разными структурами близки по смыслу к функторам между категориями.

Допустим авторы учебников могут предпочитать более формальные изложения "без картинок" (или неявно подразумевая активную работу читателей с самостоятельным осознанием схем и связей, или боясь впасть в вульгаризацию и излишнее упрощение), но уж в методических пособиях можно не стесняться этого. Или у математиков есть какие-то негласные правила и ограничения по этому поводу? Или я вообще удивляюсь зря и это только для меня было полезно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Odysseus в сообщении #1210741 писал(а):
Я всегда удивлялся, почему их (почти никогда) не изображают графами и блок-схемами:
- Такие-то определения/понятия - так выстраиваются по степени общности на лестнице абстракций

В Википедии это есть.

В некоторых случаях графы получились бы слишком запутанными, чтобы их изображать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 15:32 
Аватара пользователя


16/03/17
46
Munin Я вроде иногда встречал, но мне кажется это бывает редко, и это только один из примеров графов-схем, про которые я говорили. А можете привести примеры, которые вам запомнились?

Про запутанные графы - я как раз и говорил про упрощения. Разумеется, не всегда все можно изобразить абсолютно корректно и во всех деталях, речь идет только про главные идеи и связи. (Грубая аналогия: когда частично-упорядоченное множество показывается в виде графа, то, обычно, показываются только связи между ближайшими элементами, а не все связи, которые существуют согласно транзитивности отношения порядка.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)#Related_algebraic_structures (табличка)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Domains (последняя строчка параграфа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 18:19 
Аватара пользователя


16/03/17
46
Munin, спасибо. Да, это простые и не очень показательные случаи, примерно то, что я упоминал в post1210671.html#p1210671

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Я видел и чего-то покрасивее, но навскидку не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1166
Odysseus
Я тоже графы и таблички люблю очень. В ncatlab есть много подобных табличек, но, зачастую, не между конкретными конструкциями, а между идеями и концепциями, например:
двойственность между алгеброй и геометрией в физике
соответствие между мат. формализмами и физическими теориями
классификация геометрий в духе эрлагенской программы
ну там много чего подобного можно найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
kp9r4d в сообщении #1210866 писал(а):
двойственность между алгеброй и геометрией в физике

Правда, это всё не физика :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1166
Может быть, я просто переписал заголовок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение20.04.2017, 09:28 
Аватара пользователя


16/03/17
46
kp9r4d Спасибо. Да, это хороший пример глобальных отношений и диаграмм между разными теориями, т.е. это как раз близко к "функторам между категориями". Но я еще люблю и графы-диаграммы-таблички "внутри категории", и даже внутри "объектов категорий" в смысле связей между отдельными понятиями, аксиомами, леммами, теоремами и т.д. внутри данной теории, еще до выстраивания аналогий между ей и другими теориями. Что-то в стиле статьи на которую вы сослались выше, "более тонкое разбиение" и углубление в более мелкие детали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group