2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение15.04.2017, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14405
Новомосковск
bayak в сообщении #1209749 писал(а):
Нет, в сферу с выколотыми полюсами.
Я же говорю, что никто не понимает, чего Вы хотите. Ещё раз повторю: если Вы хотите получить определённый ответ, точно, на формальном уровне, определите разбиение плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение16.04.2017, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
bayak в сообщении #1209749 писал(а):
Нет, в сферу с выколотыми полюсами. Надо не уменьшать радиус одной из задающих окружностей тора, а увеличивать до тех пор пока они не сравняются. В итоге получается тор натянутый на сферу.

На стихи не тянет, не осмысленно... Определитесь для себя с тем, что Вам нужно. Может быть, и вопросы отпадут. Про ориентируемость нечетномерных проективных пространств Вам уже сообщили. Дырок (в каком угодно смысле) в накрывающих не бывает, если они не разветвленные и дырок в накрываемом нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 19:45 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Someone в сообщении #1209755 писал(а):
Я же говорю, что никто не понимает, чего Вы хотите. Ещё раз повторю: если Вы хотите получить определённый ответ, точно, на формальном уровне, определите разбиение плоскости.

Похоже я где-то запутался. Давайте начнём сначала. Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой. Почему я не могу компактифицировать эту плоскость, аккуратно намотав её прямые на окружности единичного радиуса? Ведь если подходить к этому делу формально, то должно получится прямое произведение проективной прямой и окружности.

alcoholist в сообщении #1209828 писал(а):
На стихи не тянет, не осмысленно... Определитесь для себя с тем, что Вам нужно. Может быть, и вопросы отпадут.

Мне нужно компактифицировать 8-мерное псевдоевклидово пространство с нейтральной метрикой, факторизацией его изотропного конуса. Факторизацией изотропных прямых псевдоевклидовой плоскости в букет из двух окружностей получаем тор. С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей. Следовательно оно компактифицируется в $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3 \times S^1\times S^1$. Вот меня и заинтересовало, что такое произведение проективного пространства на окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5625
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Похоже я где-то запутался. Давайте начнём сначала. Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой.
Нет, если бы было прямое произведение, прямые бы не пересекались.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):
С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей.
Это тоже вряд ли, тут какое-то обобщение грассманниана должно быть Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами. Например, если есть ортогональные векторы $e_1,\dots, e_4$ с $\left<e_1, e_1\right> = \left<e_2, e_2\right> = +1$, $\left<e_3, e_3\right> = \left<e_4, e_4\right> = -1$. Плоскость с базисом $2e_1 + e_3, e_2 + 2e_4$ псевоевклидова, как вы ее получите в Вашей параметризации?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 20:46 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
Нет, если бы было прямое произведение, прямые бы не пересекались.

Спасибо, и ведь мне намекали на это. Однако можно представить, что прямые не пересекаются в точке, а лишь касаются некой окружности, и тогда получится прямое произведение, а чтобы после компактификации выйти на искомое пространство, достаточно будет стянуть эту окружность в точку.

Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
как вы ее получите в Вашей параметризации?

Надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14405
Новомосковск
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой.
Проективная прямая — это окружность. Произведение прямой и окружности — это цилиндр.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Почему я не могу компактифицировать эту плоскость, аккуратно намотав её прямые на окружности единичного радиуса?
Вы употребляете слова, не понимая их смысла. Слово "компактифицировать" означает добавление к пространству новых точек так, чтобы получилось компактное пространство. Никакой факторизации при этом не происходит.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Мне нужно компактифицировать 8-мерное псевдоевклидово пространство с нейтральной метрикой, факторизацией его изотропного конуса.
Бред какой-то.

bayak в сообщении #1210259 писал(а):
Однако можно представить, что прямые не пересекаются в точке, а лишь касаются некой окружности
И тогда это не плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это

формально -- это метрическое пространство с угловой метрикой

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 19:03 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами.

Согласен, но пара прямых из пространства с положительными ортами задаёт евклидову плоскость, в то время как пара прямых из разных подпространств задаёт псевдоевклидову плоскость. Вместе с тем в этой псевдоевклидовой плоскости есть и прямые, которые задаются линейной комбинацией базиса обоих подпространств, однако они не участвуют в принятой параметризации псевдоевклидовых плоскостей.

alcoholist в сообщении #1210296 писал(а):
формально -- это метрическое пространство с угловой метрикой

Да, вы приводили уже интересный пример как из этого метрического пространства сделать бутылку Клейна. А разве без метрики нельзя обойтись?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5625
bayak в сообщении #1210485 писал(а):
Согласен, но пара прямых из пространства с положительными ортами задаёт евклидову плоскость, в то время как пара прямых из разных подпространств задаёт псевдоевклидову плоскость. Вместе с тем в этой псевдоевклидовой плоскости есть и прямые, которые задаются линейной комбинацией базиса обоих подпространств, однако они не участвуют в принятой параметризации псевдоевклидовых плоскостей.
Я Вам привел пример псевдоевклидовой плоскости, в которой все прямые задаются линейными комбинациями базиса обоих подпространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 21:17 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210519 писал(а):
Я Вам привел пример псевдоевклидовой плоскости, в которой все прямые задаются линейными комбинациями базиса обоих подпространств.

И в самом деле, что-то я ступил. Какой-то тут другой подход нужен. Может быть из множества плоскостей, порождённых произвольными бивекторами пространства просто вычесть плоскости порождённые бивекторами подпространств?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение19.04.2017, 19:10 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей.
Это тоже вряд ли, тут какое-то обобщение грассманниана должно быть Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами. Например, если есть ортогональные векторы $e_1,\dots, e_4$ с $\left<e_1, e_1\right> = \left<e_2, e_2\right> = +1$, $\left<e_3, e_3\right> = \left<e_4, e_4\right> = -1$. Плоскость с базисом $2e_1 + e_3, e_2 + 2e_4$ псевоевклидова, как вы ее получите в Вашей параметризации?

Позвольте ещё раз вернуться к этому вопросу. Вы справедливо заметили, что что псевдоевклидовых плоскостей больше чем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$. Однако именно этого количества достаточно, чтобы пробежать все изотропные прямые изотропного конуса без повторений, и поэтому для факторизации изотропного конуса берём всё же не грассманиан, а произведение проективных пространств.

Осталось только выяснить вопрос о том как описать полученное после факторизации пространство. Поскольку все торы пересекаются в одной точке, то я бы предложил прямое произведение $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ и тора с последующим стягиванием первого компонента в точку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Someone, svv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group