факторизация плоскости

[Someone]

bayak в сообщении #1209749 писал(а):

Нет, в сферу с выколотыми полюсами.

Я же говорю, что никто не понимает, чего Вы хотите. Ещё раз повторю: если Вы хотите получить определённый ответ, точно, на формальном уровне, определите разбиение плоскости.

[alcoholist]

bayak в сообщении #1209749 писал(а):

Нет, в сферу с выколотыми полюсами. Надо не уменьшать радиус одной из задающих окружностей тора, а увеличивать до тех пор пока они не сравняются. В итоге получается тор натянутый на сферу.

На стихи не тянет, не осмысленно... Определитесь для себя с тем, что Вам нужно. Может быть, и вопросы отпадут. Про ориентируемость нечетномерных проективных пространств Вам уже сообщили. Дырок (в каком угодно смысле) в накрывающих не бывает, если они не разветвленные и дырок в накрываемом нет.

[bayak]

Someone в сообщении #1209755 писал(а):

Я же говорю, что никто не понимает, чего Вы хотите. Ещё раз повторю: если Вы хотите получить определённый ответ, точно, на формальном уровне, определите разбиение плоскости.

Похоже я где-то запутался. Давайте начнём сначала. Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой. Почему я не могу компактифицировать эту плоскость, аккуратно намотав её прямые на окружности единичного радиуса? Ведь если подходить к этому делу формально, то должно получится прямое произведение проективной прямой и окружности.

alcoholist в сообщении #1209828 писал(а):

На стихи не тянет, не осмысленно... Определитесь для себя с тем, что Вам нужно. Может быть, и вопросы отпадут.

Мне нужно компактифицировать 8-мерное псевдоевклидово пространство с нейтральной метрикой, факторизацией его изотропного конуса. Факторизацией изотропных прямых псевдоевклидовой плоскости в букет из двух окружностей получаем тор. С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей. Следовательно оно компактифицируется в $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3 \times S^1\times S^1$. Вот меня и заинтересовало, что такое произведение проективного пространства на окружность.

[Xaositect]

bayak в сообщении #1210255 писал(а):

Похоже я где-то запутался. Давайте начнём сначала. Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой.

Нет, если бы было прямое произведение, прямые бы не пересекались.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):

С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей.

Это тоже вряд ли, тут какое-то обобщение грассманниана должно быть Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами. Например, если есть ортогональные векторы $e_1,\dots, e_4$ с $\left<e_1, e_1\right> = \left<e_2, e_2\right> = +1$, $\left<e_3, e_3\right> = \left<e_4, e_4\right> = -1$. Плоскость с базисом $2e_1 + e_3, e_2 + 2e_4$ псевоевклидова, как вы ее получите в Вашей параметризации?

[bayak]

Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):

Нет, если бы было прямое произведение, прямые бы не пересекались.

Спасибо, и ведь мне намекали на это. Однако можно представить, что прямые не пересекаются в точке, а лишь касаются некой окружности, и тогда получится прямое произведение, а чтобы после компактификации выйти на искомое пространство, достаточно будет стянуть эту окружность в точку.

Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):

как вы ее получите в Вашей параметризации?

Надо подумать.

[Someone]

bayak в сообщении #1210255 писал(а):

Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой.

Проективная прямая — это окружность. Произведение прямой и окружности — это цилиндр.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):

Почему я не могу компактифицировать эту плоскость, аккуратно намотав её прямые на окружности единичного радиуса?

Вы употребляете слова, не понимая их смысла. Слово "компактифицировать" означает добавление к пространству новых точек так, чтобы получилось компактное пространство. Никакой факторизации при этом не происходит.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):

Мне нужно компактифицировать 8-мерное псевдоевклидово пространство с нейтральной метрикой, факторизацией его изотропного конуса.

Бред какой-то.

bayak в сообщении #1210259 писал(а):

Однако можно представить, что прямые не пересекаются в точке, а лишь касаются некой окружности

И тогда это не плоскость.

[alcoholist]

bayak в сообщении #1210255 писал(а):

Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это

формально -- это метрическое пространство с угловой метрикой

[bayak]

Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):

Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами.

Согласен, но пара прямых из пространства с положительными ортами задаёт евклидову плоскость, в то время как пара прямых из разных подпространств задаёт псевдоевклидову плоскость. Вместе с тем в этой псевдоевклидовой плоскости есть и прямые, которые задаются линейной комбинацией базиса обоих подпространств, однако они не участвуют в принятой параметризации псевдоевклидовых плоскостей.

alcoholist в сообщении #1210296 писал(а):

формально -- это метрическое пространство с угловой метрикой

Да, вы приводили уже интересный пример как из этого метрического пространства сделать бутылку Клейна. А разве без метрики нельзя обойтись?

[Xaositect]

bayak в сообщении #1210485 писал(а):

Согласен, но пара прямых из пространства с положительными ортами задаёт евклидову плоскость, в то время как пара прямых из разных подпространств задаёт псевдоевклидову плоскость. Вместе с тем в этой псевдоевклидовой плоскости есть и прямые, которые задаются линейной комбинацией базиса обоих подпространств, однако они не участвуют в принятой параметризации псевдоевклидовых плоскостей.

Я Вам привел пример псевдоевклидовой плоскости, в которой все прямые задаются линейными комбинациями базиса обоих подпространств.

[bayak]

Xaositect в сообщении #1210519 писал(а):

Я Вам привел пример псевдоевклидовой плоскости, в которой все прямые задаются линейными комбинациями базиса обоих подпространств.

И в самом деле, что-то я ступил. Какой-то тут другой подход нужен. Может быть из множества плоскостей, порождённых произвольными бивекторами пространства просто вычесть плоскости порождённые бивекторами подпространств?

[bayak]

Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):

bayak в сообщении #1210255 писал(а):

С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей.

Это тоже вряд ли, тут какое-то обобщение грассманниана должно быть Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами. Например, если есть ортогональные векторы $e_1,\dots, e_4$ с $\left<e_1, e_1\right> = \left<e_2, e_2\right> = +1$, $\left<e_3, e_3\right> = \left<e_4, e_4\right> = -1$. Плоскость с базисом $2e_1 + e_3, e_2 + 2e_4$ псевоевклидова, как вы ее получите в Вашей параметризации?

Позвольте ещё раз вернуться к этому вопросу. Вы справедливо заметили, что что псевдоевклидовых плоскостей больше чем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$. Однако именно этого количества достаточно, чтобы пробежать все изотропные прямые изотропного конуса без повторений, и поэтому для факторизации изотропного конуса берём всё же не грассманиан, а произведение проективных пространств.

Осталось только выяснить вопрос о том как описать полученное после факторизации пространство. Поскольку все торы пересекаются в одной точке, то я бы предложил прямое произведение $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ и тора с последующим стягиванием первого компонента в точку.