2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 14:48 


19/05/08
565
Riga
В учебном пособии А.Н.Матвеева («Механика и теория относительности», изд. 3, М. 2003, § 18, стр. 125-126) обнаружил нечто странное:

Изображение


Оказывается в СТО Эйнштейна ускорение в поперечном направлении (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО) падает не в $\gamma_v^2$, а всего лишь в $\gamma_v$ раз?! В моём представлении, такое падение ускорения должно привести к нарушению принципа относительности. Поскольку в формулу ускорения $s=\frac{at^2}2$ время $t$ входит в квадрате ($a=\frac{2s}{t^2}$), то вполне очевидно, что при замедлении времени в $\gamma_v$ раз (при неизменном в поперечном направлении) расстоянии $s$, ускорение $a$ должно падать в $\gamma_v^2$ раз.

Если ускорение в поперечном направлении падает всего в $\gamma_v$ раз при увеличенном в $\gamma_v$ раз времени наблюдения, то тогда поперечная скорость $w=at$ должна оставаться неизменной, т.к. $\gamma_v$ в данной формуле сокращаются (компенсируют друг друга). А это противоречит релятивистскому закону сложения скоростей, что в свою очередь приводит к нарушению принципа относительности.

Помогите, пожалуйста, разобраться – либо это ошибка в учебнике, либо это у меня превратное представление о законах кинематики СТО?


P.S. Поясню - у меня речь идёт о небольших «классических» ускорениях до скорости $w\ll c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):
Оказывается в СТО Эйнштейна ускорение в поперечном направлении (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО) падает не в $\gamma_v^2$, а всего лишь в $\gamma_v$ раз?!

Так оно и в продольном направлении падает не в $\gamma_v^2$, а в $\gamma_v^3$ раз.

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):
В моём представлении, такое падение ускорения должно привести к нарушению принципа относительности.

Ваше представление основано на ошибках и неизлечимой тупости (вас многие и много раз пытались вылечить, безрезультатно).
А не на расчётах.

Поэтому "ваше представление" можно игнорировать.

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):
Помогите, пожалуйста, разобраться – либо это ошибка в учебнике, либо это у меня превратное представление о законах кинематики СТО?

У вас превратное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4430
С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):
формулу ускорения $s=\frac{at^2}2$
Если ускорение зависит от скорости, то эта формула — по очевидным причинам — непригодна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 18:14 


19/05/08
565
Riga
Munin в сообщении #1199454 писал(а):
Так оно и в продольном направлении падает не в $\gamma_v^2$, а в $\gamma_v^3$ раз.

Так оно и совершенно верно – помимо замедления времени ещё и сокращённое в $\gamma_v$ раз расстояние (минус $vt$, естественно). Отсюда и гамма в кубе. К продольному ускорению как раз никаких вопросов не возникает.

Munin в сообщении #1199454 писал(а):
Ваше представление основано на ошибках

Ладно, попробую решить задачу.

Пусть космический корабль (КК) движется относительно лабораторной ИСО со скоростью $v=0{,}866$ (при $c=1$) с коэффициентом сокращений $k=0,5$ и, соответственно, $\gamma_v=2$. Изначально пробное тело покоится относительно КК. Затем пробное тело ускоряется в поперечном направлении относительно курса КК с постоянным ускорением $a$. За время $t'=1\,s$ по часам космонавта тело проходит расстояние $s=5\,m$, набрав при этом скорость $w=10\,m/s$.

Находим ускорение тела с точки зрения космонавта:

$a=\frac{2s}{t'^2}=\frac{2\cdot 5}1=10\,m/s^2$

либо от $w=at$:

$a=\frac w{t'}=\frac{10}1=10\,m/s^2$

Теперь рассмотрим ту же ситуацию с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО. Расстояние $s=5\,m$ в поперечном направлении остаётся неизменным, а вот показания часов в лабораторной ИСО в $\gamma_v$ раз больше показаний часов космонавта $t=\gamma_v t'=2\cdot 1=2\,s$. Т.е. те же 5 метров изначально покоившееся тело при постоянном ускорении прошло за 2 секунды по синхронно идущим часам лабораторной ИСО. Получаем:

$a'=\frac{2s}{t^2}=\frac{2\cdot 5}4=2{,}5\,m/s^2$

откуда получаем поперечную скорость $w'=a't$ с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

$w'=a't=2{,}5\cdot 2=5\,m/s$

Получаем совершенно верный результат – согласно релятивистскому закону сложения скоростей, поперечная скорость $w$ с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО действительно должна упасть в $\gamma_v$ раз, т.е. в данном случае – вдвое. В чём ошибка?

warlock66613 в сообщении #1199467 писал(а):
С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):
формулу ускорения $s=\frac{at^2}2$
Если ускорение зависит от скорости, то эта формула — по очевидным причинам — непригодна.

Это ещё почему? Что нам мешает отмерять те же 5 метров в лабораторной ИСО (в поперечном направлении относительно курса КК) и ускорять пробное тело из такого расчёта, чтобы оно прошло эту дистанцию за те же 2 секунды с постоянным ускорением? Разве тела в указанном направлении не будут двигаться синхронно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 18:45 
Заслуженный участник


14/10/14
497
С.Мальцев в сообщении #1199530 писал(а):
$a'=\frac{2s}{t^2}$
Эта формула работает, когда ускорение постоянно, а начальная скорость 0. Но в "лабораторной" системе отсчёта скорость уже не 0 (поскольку продольная компонента не 0).

-- 12.03.2017, 19:48 --

К тому же пробное тело там движется уже не в поперечном (по отношению к скорости корабля) направлении, а частично и в продольном, так что $s$ при бусте меняется. Поперечное расстояние между 2 точками не меняется, например, если они неподвижны в старой системе отсчёта. Но у нас тут совсем не то: положение одной и другой точки измеряются в разные моменты времени. Так что $s$ и не должно сохраниться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4430
С.Мальцев, продольные и поперечные компоненты ускорения умножаются на $\gamma$ в некоторой степени при переходе из СО, где скорость была равна нулю. А если скорость в исходной системе нулю не равна, то преобразование сильно сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 19:36 


19/05/08
565
Riga
Slav-27 в сообщении #1199541 писал(а):
пробное тело там движется уже не в поперечном (по отношению к скорости корабля) направлении, а частично и в продольном
Пусть ускорение пробного тела в поперечном направлении начинается в момент совпадения начал координат лабораторной ИСО, космического корабля и пробного тела. В момент времени $t=2$ коодината КК по оси $x$ составляет $x=0{,}866\cdot 2=1{,}732$. Вы полагаете, что в этот же момент времени $t=2$ координата пробного тела по оси $x$ должна отличаться от указанной координаты КК?

warlock66613 в сообщении #1199545 писал(а):
С.Мальцев, продольные и поперечные компоненты ускорения умножаются на $\gamma$ в некоторой степени при переходе из СО, где скорость была равна нулю. А если скорость в исходной системе нулю не равна, то преобразование сильно сложнее.
А Вы, часом, не усложняете сверх необходимого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4430
С.Мальцев в сообщении #1199564 писал(а):
А Вы, часом, не усложняете сверх необходимого?
Нет. В формуле для преобразования ускорения присутствуют две скорости: скорость СО и скорость тела. Только если скорость тела равна нулю или скорости СО — то есть когда в одной из двух СО скорость тела равна нулю — получается формула для преобразования ускорения, не содержащая скорости тела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 20:32 


19/05/08
565
Riga
warlock66613 в сообщении #1199566 писал(а):
В формуле для преобразования ускорения присутствуют две скорости: скорость СО и скорость тела. Только если скорость тела равна нулю или скорости СО — то есть когда в одной из двух СО скорость тела равна нулю — получается формула для преобразования ускорения, не содержащая скорости тела.
Само собой разумеется – формулы преобразований, как правило (за исключением инвариантных величин), должны содержать коэффициент, содержащий скорость сопутствующей ИСО. О чём, собственно и речь – либо $a'=a\sqrt{1-v^2}$ (поперечное ускорение падает в $\gamma_v$ раз) согласно учебнику, либо $a'=a(1-v^2)$ (поперечное ускорение падает в $\gamma_v^2$ раз), получая верные расчёты. Насколько мне известно, физические законы должны оставаться неизменными для каждой из ИСО. Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами, тогда в итоге получаем верные формулы преобразований для «классических» величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 20:40 
Заслуженный участник


14/10/14
497
С.Мальцев в сообщении #1199564 писал(а):
Пусть ускорение пробного тела в поперечном направлении начинается в момент совпадения начал координат лабораторной ИСО, космического корабля и пробного тела. В момент времени $t=2$ коодината КК по оси $x$ составляет $x=0{,}866\cdot 2=1{,}732$. Вы полагаете, что в этот же момент времени $t=2$ координата пробного тела по оси $x$ должна отличаться от указанной координаты КК?

С.Мальцев в сообщении #1199530 писал(а):
Изначально пробное тело покоится относительно КК. Затем пробное тело ускоряется в поперечном направлении относительно курса КК с постоянным ускорением $a$.
В поперечном направлении в системе отсчёта корабля? Тогда ответ на ваш вопрос "нет"

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4430
С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):
скорость сопутствующей ИСО
Да, именно сопутствующей. Если тело движется с ускорением, то скорость сопутствующей ИСО меняется, соответственно ускорение по крайней мере в одной из двух ИСО — ИСО КК и лабораторной ИСО — также меняется, соответственно формула $s=\frac{at^2}2$ оказывается в этой ИСО непригодной.

-- 12.03.2017, 21:50 --

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):
Насколько мне известно, физические законы должны оставаться неизменными для каждой из ИСО.
Да, но именно законы, а не их математическая запись. Только специально для этой цели придуманная форма записи физических законов, в которую "встроены" законы СТО, одинакова в любой ИСО.
С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):
Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами
Это в простейших случаях. В общем случае изменение законов куда более сложное. (Элементарное рассуждение: взяв закон с "переменной с соответствующим коэффициентом" и проинтегрировав его, мы получим другой закон, вообще говоря, совершенно отличный от того, который мы получили бы в результате интегрирования закона без "коэффициента", ведь этот самый коэффициент за знак интегрирования вынести нельзя.)

-- 12.03.2017, 22:06 --

(Замечание в сторону / мысли в слух)

Sicker в сообщении #756236 писал(а):
вы имеете ввду собственное ускорение?-или обычное Ньютоновское

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):
Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами

Похоже, есть такой миф, что релятивистская механика сводится к замене "ньютоновских" механических величин на "эйнштейновские", подправленные по сравнению с ньютоновскими коэффициентами (гаммой в разных степенях), при которой законы для подправленных величин сохраняют исходную, нерелятивистскую форму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 22:45 


19/05/08
565
Riga
warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):
Если тело движется с ускорением, то скорость сопутствующей ИСО меняется, соответственно ускорение по крайней мере в одной из двух ИСО — ИСО КК и лабораторной ИСО — также меняется
Специально в стартовом посте сразу же отметил:
С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):
P.S. Поясню - у меня речь идёт о небольших «классических» ускорениях до скорости $w\ll c$.
Вы полагаете, что изменение скорости пробного тела $\pm 10\,m/s$ или $\pm 3{,}(3)\cdot 10^{-8}$ к скорости $v=0{,}866$ при $c=1$ может сколь-нибудь значимо повлиять на величину коэффициента $k=\sqrt{1-v^2}$?

warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):
С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):
скорость сопутствующей ИСО
Да, именно сопутствующей. Если тело движется с ускорением, то скорость сопутствующей ИСО меняется, соответственно ускорение по крайней мере в одной из двух ИСО — ИСО КК и лабораторной ИСО — также меняется
Под сопутствующей ускоряемому телу ИСО имеется в виду ИСО КК, относительно которой пробное тело и начинает ускоряться.

warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):
С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):
Насколько мне известно, физические законы должны оставаться неизменными для каждой из ИСО.
Да, но именно законы, а не их математическая запись. Только специально для этой цели придуманная форма записи физических законов, в которую "встроены" законы СТО, одинакова в любой ИСО.
Вы предлагаете выводить специальные релятивистские формулы для пренебрежимо малых (с точки зрения релятивизма) вышеупомянутых «классических» скорости $w$ и ускорения $a$?

warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):
С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):
Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами
Это в простейших случаях.
Так это и есть самый простейший случай. Куда уж проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение12.03.2017, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4430
С.Мальцев в сообщении #1199638 писал(а):
Вы полагаете, что изменение скорости пробного тела $\pm 10\,m/s$ или $\pm 3{,}(3)\cdot 10^{-8}$ к скорости $v=0{,}866$ при $c=1$ может сколь-нибудь значимо повлиять на величину коэффициента $k=\sqrt{1-v^2}$?
Да, я так полагаю. За счёт того, что то, что вы считаете "поперечной компонентой" то, что на самом деле является смесью продольной и попереной компонент, вы и получаете $\gamma^2$ как смесь $\gamma$ и $\gamma^3$. (Это навскидку, без подробных разбирательств.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение15.03.2017, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
В теме «О теме С.Мальцева про поперечное движение в СТО»
участником Slav-27 было показано, что расчёты С.Мальцев-а правильные, а в учебнике Матвеева ошибка.

Приношу С.Мальцев-у свои извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поперечное движение в СТО.
Сообщение15.03.2017, 22:13 
Заслуженный участник


29/11/11
4252
$\frac{\vec{F}}{m} = \frac{d}{dt}(\gamma\vec{v}) = \hat{v}\frac{d}{dt}(\gamma v) + \gamma v \frac{d}{dt}\hat{v} = \gamma^3 (\hat{v}\frac{d}{dt}v) + \gamma (v \frac{d}{dt}\hat{v}) = \gamma^3\vec{a}_\parallel + \gamma\vec{a}_\bot$

$\vec{F}_\parallel = m\gamma^3 \vec{a}_\parallel$
$\vec{F}_\bot = m\gamma \vec{a}_\bot$

Если "поперечной" считать силу, направленную перпендикулярно скорости именно в той ИСО, относительно которой эта скорости измерена, то все-таки $\gamma$. А в той ИСО относительно которой скорость нулевая, отсчитывать перпендикуляр к нулевому вектору как то некрасиво.

ps. А, пардон, невнимательно читал, речь не о поперечной силе а о преобразовании ускорения из ИСО в ИСО.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group