2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 01:40 
Аватара пользователя


01/12/11
5741
На двух карточках записаны четыре различные цифры – по одной с каждой стороны карточки. Может ли оказаться так, что всякое двузначное число, которое можно сложить из этих карточек, будет иметь одно и то же количество делителей?
(Нельзя переворачивать цифры вверх ногами, то есть делать из цифры 6 цифру 9 и наоборот.)
(по мотивам задачи A.Shapovalov)

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 07:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12848
Вот если бы ещё потребовать не менять порядка карточек, то можно было бы предложить простяшки $1/4+3/7 \to 13,17,43,47$. А требовать, чтобы целых восемь чисел входили в один класс по понятному отношению эквивалентности это жесть.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 14:20 
Аватара пользователя


26/09/16
59
Снегири
А делители должны быть взаимно простыми?

Вообще, не так уж много двузначных, которые при перемене цифр оставляют количество делителей.
Не считая простых $(13, 17, 37, 79)$ это всего лишь $(15, 26, 39, 58)$ с четырьмя делителями, включая 1 и себя, а также $(24)$ с восемью.
Просто взглянув на этот набор, можно сказать, что ничего хорошего нам тут не светит.

Можно, впрочем, было бы взять три карточки с цифрами $1, 3, 7$ и играться с ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4147
SVD-d
В Вашем анализе не рассмотрен 0. С ним тоже вряд ли что-то светит, но он обладает очень полезным свойством для данной задачи.
Это если ещё верна Ваша гипотеза, что в условии задачи зафиксирована десятичная система счисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 17:35 
Аватара пользователя


26/09/16
59
Снегири
Отчего же?
Если у нас в комплекте есть ноль, то среди наших двузначных чисел обязательно будут $x$ и $10x$, у которых количество делителей сразу разное.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4147
SVD-d в сообщении #1198807 писал(а):
Если у нас в комплекте есть ноль, то среди наших двузначных чисел обязательно будут $x$ и $10x$

    Ktina в сообщении #1198652 писал(а):
    всякое двузначное число, которое можно сложить


-- 10.03.2017, 17:39 --

Ну то есть $x$ в Ваших обозначениях -- это не двузначное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group