4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)

[Ktina]

На двух карточках записаны четыре различные цифры – по одной с каждой стороны карточки. Может ли оказаться так, что всякое двузначное число, которое можно сложить из этих карточек, будет иметь одно и то же количество делителей?
(Нельзя переворачивать цифры вверх ногами, то есть делать из цифры 6 цифру 9 и наоборот.)
(по мотивам задачи A.Shapovalov)

[gris]

Вот если бы ещё потребовать не менять порядка карточек, то можно было бы предложить простяшки $1/4+3/7 \to 13,17,43,47$. А требовать, чтобы целых восемь чисел входили в один класс по понятному отношению эквивалентности это жесть.

[SVD-d]

А делители должны быть взаимно простыми?

Вообще, не так уж много двузначных, которые при перемене цифр оставляют количество делителей.
Не считая простых $(13, 17, 37, 79)$ это всего лишь $(15, 26, 39, 58)$ с четырьмя делителями, включая 1 и себя, а также $(24)$ с восемью.
Просто взглянув на этот набор, можно сказать, что ничего хорошего нам тут не светит.

Можно, впрочем, было бы взять три карточки с цифрами $1, 3, 7$ и играться с ними.

[grizzly]

SVD-d
В Вашем анализе не рассмотрен 0. С ним тоже вряд ли что-то светит, но он обладает очень полезным свойством для данной задачи.
Это если ещё верна Ваша гипотеза, что в условии задачи зафиксирована десятичная система счисления.

[SVD-d]

Отчего же?
Если у нас в комплекте есть ноль, то среди наших двузначных чисел обязательно будут $x$ и $10x$, у которых количество делителей сразу разное.

[grizzly]

SVD-d в сообщении #1198807 писал(а):

Если у нас в комплекте есть ноль, то среди наших двузначных чисел обязательно будут $x$ и $10x$

Ktina в сообщении #1198652 писал(а):

всякое двузначное число, которое можно сложить

-- 10.03.2017, 17:39 --

Ну то есть $x$ в Ваших обозначениях -- это не двузначное.