2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
В курсе матанализа понятию предела функции традиционно уделяется много внимания. Дается два определения (по Гейне и по Коши), доказывается их эквивалентность. Студентов заваливают заданиями по вычислению пределов элементарных функций. Между тем ни в одном из учебников общей топологии, которые мне довелось листать - Виро и К, Энгелькинга, Келли, Куратовского - мне не удалось обнаружить понятие предела функции. Пределы последовательности, направленности, фильтра - есть, сколько угодно, предела функции - нет.

Надо ли понимать это так, что понятие предела функции, введенное для $\mathbb R$ и $\mathbb C$, не удается плодотворно обобщить на произвольное топологическое пространство? На первый взгляд, определение предела функции по Гейне - "точка $b$ является пределом функции $f(x)$ (по Гейне) при $x \to a$, если для любой сходящейся к $a$, но не содержащей $a$ последовательности $\{x_i\}$ последовательность $\{f(x_i)\}$ сходится к $b$" - можно перенести на произвольное топологическое пространство дословно. Предел по Коши я бы определил так: "точка $b$ является пределом функции $f(x)$ (по Коши) при $x \to a$, если для любой окрестности $B$ точки $b$ найдется проколотая окрестность $A$ точки $a$ такая, что $f(A) \subset B$". И тогда даже известное в топологии понятие непрерывности в точке можно формулировать как в матане: функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, если имеет в этой точке предел по Коши, равный $f(a)$.

Конечно, в экзотических пространствах так определенные пределы получат непривычные свойства. Нарушится тождественность этих определений: легко показать, что если функция имеет в точке предел по Коши, она имеет в нем тот же предел по Гейне, но вот обратное без дополнительных ограничений на топологию, похоже, неверно. Далее, в дискретном пространстве сходятся только стационарные последовательности, значит, последовательностей, сходящихся к $a$, но не содержащих $a$, просто не будет. Поэтому, по принятым в математике правилам обращения с пустым множеством, придется считать, что любая функция имеет предел по Гейне в любой точке. Получится, что в этом пространстве у последовательности только один предел, а у функции сколько угодно - фигня какая-то. Но, положа сердце на руку - уж какая область не боится экзотических обобщений, так это общая топология. В тривиальной топологии любая точка является пределом любой последовательности, и чо? Далее, можно предположить, что в анализе понятие предела функции важно в связи с понятием производной, асимптотиками, разложением в ряды и др., чего в общей топологии нет и потому ей это не нужно. Эта версия меня тоже не убеждает, потому что сразу возникает встречный вопрос, а зачем общей топологии нужно все то, что в ней есть. Вот всю эту кучу экзотических понятий топологи нашли интересными, а пределу функции места не нашлось? Не верю. Третья версия: есть понятие, обобщающее понятие предела функции, какой-нибудь "ультракирдык функции", и собственно предел не интересен как мелкий частный случай. Тогда вопрос, как называется этот ультракирдык.

И, наконец, не исключено, что я что-то упустил. Например, определение предела функции в упомянутых книгах. Помогите, что ли, распутаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12712
Москва
Предел функции не является объектом изучения в общей топологии. Как известно, категория топологических пространств — это категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения. И этим все сказано. Зачем тому, кто уже непрерывен, понятие предела?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 19:29 
Заслуженный участник


14/10/14
398
Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):
Между тем ни в одном из учебников общей топологии, которые мне довелось листать... мне не удалось обнаружить понятие предела функции.
Понятие предела отображения топологических пространств -- бывает, и обычно соответствует вашему по Коши. Смотрите, например, Зорича "Математический анализ" т. 2.
Бывает и по Гейне (sequential limit). С по Коши он и впрямь не всегда совпадает. Но если из метризуемого в хаусдорфово -- совпадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1070
Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):
Далее, можно предположить, что в анализе понятие предела функции важно в связи с понятием производной, асимптотиками, разложением в ряды и др., чего в общей топологии нет и потому ей это не нужно.
Придерживаюсь именно такого мнения.
Anton_Peplov в сообщении #1183064 писал(а):
Эта версия меня тоже не убеждает, потому что сразу возникает встречный вопрос, а зачем общей топологии нужно все то, что в ней есть. Вот всю эту кучу экзотических понятий топологи нашли интересными, а пределу функции места не нашлось? Не верю.
Меня очень печалит, когда такую ситуацию кто-то считает нормальной, тем более кто-то, серьёзно интересующийся именно этим разделом науки.
Ну, в самом деле, математикам делать нечего, кроме как "выдумывать экзотические конструкции"?
Если какое-то понятие введено в математику, оно необходимо, без него нельзя обойтись.
Те понятия, без которых можно обойтись без потерь, подлежат выкидыванию из математики и забвению, а изучению не подлежат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12712
Москва
Mikhail_K в сообщении #1183099 писал(а):
Те понятия, без которых можно обойтись без потерь, подлежат выкидыванию из математики и забвению, а изучению не подлежат.

"Право на получение удовольствия от бесполезных занятий горячо отстаивал Годфри Харолд Харди (1877–1947), автор знаменитого и превосходного эссе «Апология математика». Харди очень гордился тем, что был специалистом по теории чисел — дисциплине, которая никогда (святая простота!) не получит практического применения!" :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
463
МО
Anton_Peplov
А, типа, значение, при котором функция непрерывна в точке, чем не устраивает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
Brukvalub в сообщении #1183088 писал(а):
Предел функции не является объектом изучения в общей топологии. Как известно, категория топологических пространств — это категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения. И этим все сказано. Зачем тому, кто уже непрерывен, понятие предела?
Хм. Интересная идея. Теория разрывных функций из топологических пространств в топологические не является предметом изучения общей топологии. А ею вообще кто-то занимался, она в какие-нибудь учебники/монографии вошла?
Mikhail_K в сообщении #1183099 писал(а):
Если какое-то понятие введено в математику, оно необходимо, без него нельзя обойтись.
Те понятия, без которых можно обойтись без потерь, подлежат выкидыванию из математики и забвению, а изучению не подлежат.
Я просто не понимаю, что значит "можно обойтись". Где обойтись? Так ли редко встречается ситуация, когда без понятия какого-нибудь синего хрямзика можно обойтись везде, кроме теории синих хрямзиков?

-- 09.01.2017, 20:02 --

пианист в сообщении #1183109 писал(а):
А, типа, значение, при котором функция непрерывна в точке, чем не устраивает?
Как определение предела по Коши? Устраивает. Можно предел определять через непрерывность в точке, можно непрерывность в точке через предел. Тот же арбуз, вид сбоку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
463
МО
Anton_Peplov
А, сори, Вы же этот вариант и прописали.
А что тогда смущает?
Вроде как именно это свойство при любых вариациях на тему должно будет сохраняться, как иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
пианист в сообщении #1183125 писал(а):
А что тогда смущает?
Смущает то, что понятие предела функции в общем топологическом пространстве мне не встретилось ни в одной книжке (вот спасибо несколькими сообщениями выше Зорича подсказали, там что-то похожее), и мне пришлось выдумывать его самостоятельно. Что сигнализирует, что с этим понятием что-то не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1070
Brukvalub в сообщении #1183103 писал(а):
"Право на получение удовольствия от бесполезных занятий горячо отстаивал Годфри Харолд Харди (1877–1947), автор знаменитого и превосходного эссе «Апология математика». Харди очень гордился тем, что был специалистом по теории чисел — дисциплине, которая никогда (святая простота!) не получит практического применения!" :D
Anton_Peplov в сообщении #1183113 писал(а):
Я просто не понимаю, что значит "можно обойтись". Где обойтись? Так ли редко встречается ситуация, когда без понятия какого-нибудь синего хрямзика можно обойтись везде, кроме теории синих хрямзиков?
Разумеется, я не имел в виду исключительно практическое применение.
А в том числе применение в самой теории или других математических теориях, для решения каких-то уже поставленных задач.
Но никто не придумывает новое понятие просто так, если оно не нужно ни на практике, ни для решения уже поставленных теоретических задач, ни для более простой и внятной переформулировки имеющихся теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
Mikhail_K в сообщении #1183128 писал(а):
Но никто не придумывает понятие или теорию просто так, если оно не нужно ни на практике, ни для решения уже поставленных теоретических задач, ни для более простой и внятной переформулировки имеющихся теорий.
Ну вот мне было бы интересно рассмотреть разрывные функции в таких и сяких топологических пространствах, сделать классификации точек разрыва, посмотреть, при каких ограничениях на топологию какие варианты вылезают. Неужели я такой извращенец, что это интересно только мне?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1070
Anton_Peplov в сообщении #1183129 писал(а):
Ну вот мне было бы интересно рассмотреть разрывные функции в таких и сяких топологических пространствах, сделать классификации точек разрыва, посмотреть, при каких ограничениях на топологию какие варианты вылезают. Неужели я такой извращенец, что это интересно только мне?
Мне тоже интересно. Более того, с разрывными отображениями метрических пространств мне самому приходилось слегка соприкоснуться, и эта теория имеет даже некоторые практические приложения.
(Но вот про классификацию точек разрыва ничего не скажу.)

Всё что Вы пишете - безусловно интересно для математика.
Потому что понятие непрерывного отображения топологических пространств, непрерывности в точке уже имеется - а поэтому автоматически имеется и понятие точки разрыва.

Это не то же самое, что переносить без надобности разные понятия на случай произвольных топологических пространств.
Вот в какой-то соседней теме возник чисто терминологический спор, имеется ли понятие предела в любых топологических пространствах, или только в хаусдорфовых со счётной базой.
Моё мнение здесь такое: при желании понятие предела можно ввести и для произвольных топологических пространств, но оно там банально ни для чего не нужно и не обладает некоторыми важными свойствами. Нет чувства, что пределы в таких пространствах - это "что-то реальное". Поэтому и не нужно их там вводить вообще. Хватит пределов в хаусдорфовых пространствах со счётной базой.
(Вот когда возникнет задача, требующая таких пределов, можно будет ими заняться.)

Насчёт предела функции - это понятие мне не кажется естественным даже в мат.анализе, хотя там без него и впрямь не обойтись. Не кажутся естественными вот эти проколотые окрестности. И если в топологии можно обойтись без этого неестественного понятия, так и нужно делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
Mikhail_K в сообщении #1183135 писал(а):
Это не то же самое, что переносить без надобности разные понятия на случай произвольных топологических пространств.
Я не про разные, а про понятие предела. Образующее единственный известный мне язык, на котором можно классифицировать точки разрыва.
Mikhail_K в сообщении #1183135 писал(а):
Не кажутся естественными вот эти проколотые окрестности.
Мне тоже они когда-то казались неестественными. А потом проникся и полюбил. Окрестностям ведь пирсинг устраивают не просто так. Две функции могут одинаково себя вести при приближении к точке, но по-разному в самой точке. И понятие предела красиво формализует этот факт, который, как известно, самая упрямая вещь в мире.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4243
Anton_Peplov в сообщении #1183142 писал(а):
Образующее единственный известный мне язык, на котором можно классифицировать точки разрыва.


Скажем так, интуиция о классификации точек разрыва идёт из функций одной вещественной переменной. Уже в $\mathbb R^2$ ничего кроме устранимый/не устранимый так просто не придумать, и для отличия одного от другого достаточно понятия непрерывности и продолжимости отображения до непрерывного.

Продолжение непрерывных отображений с подмножества пространства на всё пространство является одним из основных разделов алгебраической топологии и называется "Теория препятствий".

Другие разделы математики, близкие к "многомерным разрывам" – геометрическая теория меры и теория особенностей ("теория катастроф"), см, например, книжки Федерера и Арнольда–Варченко–Гусейн-Заде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в общей топологии
Сообщение09.01.2017, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
Спасибо.

-- 09.01.2017, 22:05 --

Кстати, нашел широкое достаточное условие, при котором понятия предела по Коши и Гейне (в моих определениях) эквивалентны. Пусть для любой точки $a$ найдется последовательность ее проколотых окрестностей $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...$ такая, что в любой окрестности $U$ точки $a$ лежат все $A_i$, начиная с некоторого индекса. Я назвал такие пространства пушистыми. Легко показать, что в пушистом пространстве функция, имеющая в точке $a$ предел по Гейне, имеет тот же предел и по Коши.
Другое дело - а как убедиться в пушистости пространства? Она не гарантируется никакими аксиомами отделимости и счетности. Например, дискретное пространство не пушисто, хотя в нем выполняются все аксиомы отделимости и, если выбрать счетный носитель, все аксиомы счетности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group