2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 16:19 
Аватара пользователя


07/01/15
754
Нюрба

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1177527 писал(а):
Вавилова Mengenlehre?

Прекрасная книга, кстати. Она отучила меня рассуждать о множестве зеленых яблок. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2561
Munin в сообщении #1177548 писал(а):
Я смысл слов "общая топология" узнал очень поздно, и до сих пор считаю, что это предмет, имеющий очень мало общего со словом "топология". А то, что называется словом "топология", также может снабжаться эпитетами "алгебраическая", "дифференциальная", "комбинаторная". Наука о сферах и бубликах, и листах Мёбиуса, и всяком таком.

У меня ощущение противоположное. Какой-то пропасти между общей и алгебраической топологиями я не вижу; более того, не вижу и чёткой грани между ними.

И общая топология, и алгебраическая в каком-то смысле изучают свойства пространств и множеств в этих пространствах, не меняющиеся при деформациях этих пространств ("без разрывов и склеиваний"). Такое впечатление возникает при рассмотрении сфер и бубликов, а также стягивающихся и нестягивающихся петель на этих поверхностях ("алгебраическая топология"); но точно такое же возникает и при рассмотрении границ и внутренностей, открытых и замкнутых множеств ("общая топология"). Основные понятия топологии, такие как гомеоморфизм, вводятся в общей топологии и незаменимы в алгебраической.

Разница только в том, что в общей топологии изучаются любые топологические пространства (в т.ч. довольно странно устроенные), а в алгебраической и дифференциальной - только одного специального вида - многообразия. (Хотя, строго говоря, и это неверно: в теории клеточных комплексов, относящейся явно к "алгебраической топологии", рассматриваются и некоторые "бесконечномерные" топологические пространства.)
Но как определить многообразие? Как хаусдорфово пространство со счётной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R}^n$. А это всё термины из общей топологии. Без общей топологии алгебраическая лишается своего предмета.
(Конечно, при желании можно определить многообразие и по-другому, как класс гомеоморфных друг другу $n$-мерных поверхностей в евклидовых пространствах любой конечной размерности - но это определение мне не кажется сколько-нибудь красивым. В первую очередь потому, что, изучая многообразие, мы совсем не обращаемся к каким-то внешним пространствам, они нам не нужны и неинтересны. Когда мы рассматриваем бутылку Клейна и проективную плоскость, нам неважно, что они реализуемы в виде поверхностей в $\mathbb{R}^4$; даже если бы не были реализуемы, это нисколько не сделало бы эти пространства менее интересными. Вот почему многообразия должны определяться как топологические пространства, а не как поверхности или их классы.)

Когда мы склеиваем двумерное многообразие из разных кусков, приклеиваем к нему ручки и плёнки Мёбиуса, или получаем его из многоугольных развёрток - тут незаменимо понятие фактортопологии, без которого это всё строго не обосновать. А фактортопология - это понятие из общей топологии.

У меня есть представление об оптимальном плане изучения топологии, как-то так:
Основы (топологические пространства, замыкания, границы и внутренности множеств, открытые и замкнутые множества, гомеоморфизмы и изотопии; см. мои комментарии в теме topic113342.html) => Теория метрических пространств (в частности, свойства открытых и замкнутых множеств в этих пространствах) => Общая топология в терминах системы открытых множеств (для настоящего понимания которой нужна подготовка в виде предыдущего этапа) => Фактортопология и "склеивания" топологических пространств (в качестве примера можно рассмотреть проективную плоскость) => Многообразия (вводимые согласно данному выше определению; здесь интересно посмотреть и прочувствовать, какую роль в этом определении играет хаусдорфовость, счётность базы) => Двумерные многообразия и их классификация - и тут мы уже подходим к гомотопиям, гомологиям, когомологиям и прочему.

И в этом плане я не вижу ни одной резкой границы, каждый этап плавно переходит в следующий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21292
Уфа
Munin в сообщении #1177527 писал(а):
Вы смотрели Вавилова Mengenlehre?
Смотрел-то смотрел, но не уверен в том, что можно её читать первым делом, а не после получения той самой базы, о которой тут разговор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
arseniiv в сообщении #1177608 писал(а):
Смотрел-то смотрел, но не уверен в том, что можно её читать первым делом, а не после получения той самой базы, о которой тут разговор.

Я тоже не уверен.

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):
Какой-то пропасти между общей и алгебраической топологиями я не вижу; более того, не вижу и чёткой грани между ними.

Одно дело - пропасть между науками, и другое - между учебниками. "Общая топология" интересутся "патологиями", то есть топологиями, устроенными не как область $\mathbb{R}^n$ в окрестности. А как только мы отвлекаемся от "патологий", например, переходим к клеточным пространствам, то предмет изучения сильно меняется, меняется и точка зрения, и метод.

Всё, что вы пишете, мне известно, но на моё мнение не влияет. И кстати, я не произносил слова "пропасть". Мне кажется, тут ближе образ "излома".

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):
Конечно, при желании можно определить многообразие и по-другому, как класс гомеоморфных друг другу $n$-мерных поверхностей в евклидовых пространствах любой конечной размерности - но это определение мне не кажется сколько-нибудь красивым.

Мне приятно определение через карты и атласы. Оно удобно в дифференциальной геометрии.

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):
У меня есть представление об оптимальном плане изучения топологии

Это практически план изучения "общей топологии". Алгебраическая остаётся неохваченной, кроме небольшого иллюстративного случая двух измерений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5100
Munin в сообщении #1177622 писал(а):
"Общая топология" интересутся "патологиями"
Общая потология? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 00:00 


11/08/16

312
knizhnik в сообщении #1177437 писал(а):
Munin в сообщении #1177234 писал(а):
Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.
Нет, логика не выразима через арифметику целых чисел.
Munin в сообщении #1177527 писал(а):
knizhnik
Замечания я буду принимать от кого-то более компетентного, чем вы.
Моих компетенций вполне достаточно, чтобы сделать вам такое замечание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5894
Ну, вообще, основная часть доказательства теоремы Геделя о неполноте - это выражение логики через арифметику целых чисел, в некотором смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5100
Я учился математической логике по уже упомянутой книжке Клини. Там язык, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первого порядка в полном составе включены в формальную арифметику. Это значит, что любая формула и любой вывод логики первого порядка являются также формулой и выводом формальной арифметики, т.е., имея арифметику, мы автоматически имеем и логику первого порядка как ее часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 10:48 


11/08/16

312
Xaositect в сообщении #1177710 писал(а):
Ну, вообще, основная часть доказательства теоремы Геделя о неполноте - это выражение логики через арифметику целых чисел, в некотором смысле.
Ну, нет. Это выражение не логики, а логического синтаксиса. Ясно, что таким же способом можно нумеровать предложения любого языка, хоть даже поэзию Серебряного века при желании.

(Оффтоп)

На вопрос о том, можно ли аксиомы логики записать как геделевы числа, а правила подстановки и вывода как специфические операции в арифметике, ответ по-моему однозначный. То есть нет, нельзя. Рассмотрим хотя бы подстановку. В ИВ можно одну формулу подставить вместо буквы в другую. Причем если букв там больше одной, то и вариантов подстановки больше одного.
С точки зрения геделевой нумерации в разложении по степеням в этот момент происходит сдвиг старых показателей степеней и вставка на их место новых показателей. Системы целых чисел с арифметическими операциями для описания всевозможных сдвигов и вставок явно недостаточно.
Безусловно, можно с показателями степеней работать и чисто синтаксически, чисто вручную. Но тогда при чем тут арифметика?

Anton_Peplov в сообщении #1177739 писал(а):
аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первого порядка в полном составе включены в формальную арифметику
Они всегда включены в любую теорию первого порядка, явно или неявно.
Anton_Peplov в сообщении #1177739 писал(а):
имея арифметику, мы автоматически имеем и логику первого порядка как ее часть.
Проще говоря, арифметика первого порядка выразима в логике первого порядка, а не наоборот. Ну да. Конечно. А то мы не знали!
Нет смысла отстаивать чужое нелепое утверждение. Фраза "все эти разделы выразимы друг через друга" есть просто нелепость, из нее невозможно сделать что-то разумное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5100
Предлагаю сосчитать протоны в ядре. Есть подозрение, что их семьдесят девять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 11:58 


11/08/16

312
Anton_Peplov в сообщении #1177809 писал(а):
Предлагаю сосчитать протоны в ядре. Есть подозрение, что их семьдесят девять.
Ну, что тут сказать... Приведите самостоятельные попытки решения этого вопроса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5894

(Оффтоп)

knizhnik в сообщении #1177801 писал(а):
На вопрос о том, можно ли аксиомы логики записать как геделевы числа, а правила подстановки и вывода как специфические операции в арифметике, ответ по-моему однозначный. То есть нет, нельзя. Рассмотрим хотя бы подстановку. В ИВ можно одну формулу подставить вместо буквы в другую. Причем если букв там больше одной, то и вариантов подстановки больше одного.
С точки зрения геделевой нумерации в разложении по степеням в этот момент происходит сдвиг старых показателей степеней и вставка на их место новых показателей. Системы целых чисел с арифметическими операциями для описания всевозможных сдвигов и вставок явно недостаточно.
А зачем нам еще геделевские номера, если не для того, чтобы выражать правила вывода? Все основные синтаксические операции, включая подстановку, являются примитивно-рекурсивными на геделевых номерах, а следовательно, выразимы арифметическими предикатами. Подробнее в учебнике Мендельсона, глава 3.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group