2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 16:19 
Аватара пользователя


07/01/15
564

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1177527 писал(а):
Вавилова Mengenlehre?

Прекрасная книга, кстати. Она отучила меня рассуждать о множестве зеленых яблок. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 17:23 
Аватара пользователя


26/01/14
974
Munin в сообщении #1177548 писал(а):
Я смысл слов "общая топология" узнал очень поздно, и до сих пор считаю, что это предмет, имеющий очень мало общего со словом "топология". А то, что называется словом "топология", также может снабжаться эпитетами "алгебраическая", "дифференциальная", "комбинаторная". Наука о сферах и бубликах, и листах Мёбиуса, и всяком таком.

У меня ощущение противоположное. Какой-то пропасти между общей и алгебраической топологиями я не вижу; более того, не вижу и чёткой грани между ними.

И общая топология, и алгебраическая в каком-то смысле изучают свойства пространств и множеств в этих пространствах, не меняющиеся при деформациях этих пространств ("без разрывов и склеиваний"). Такое впечатление возникает при рассмотрении сфер и бубликов, а также стягивающихся и нестягивающихся петель на этих поверхностях ("алгебраическая топология"); но точно такое же возникает и при рассмотрении границ и внутренностей, открытых и замкнутых множеств ("общая топология"). Основные понятия топологии, такие как гомеоморфизм, вводятся в общей топологии и незаменимы в алгебраической.

Разница только в том, что в общей топологии изучаются любые топологические пространства (в т.ч. довольно странно устроенные), а в алгебраической и дифференциальной - только одного специального вида - многообразия. (Хотя, строго говоря, и это неверно: в теории клеточных комплексов, относящейся явно к "алгебраической топологии", рассматриваются и некоторые "бесконечномерные" топологические пространства.)
Но как определить многообразие? Как хаусдорфово пространство со счётной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R}^n$. А это всё термины из общей топологии. Без общей топологии алгебраическая лишается своего предмета.
(Конечно, при желании можно определить многообразие и по-другому, как класс гомеоморфных друг другу $n$-мерных поверхностей в евклидовых пространствах любой конечной размерности - но это определение мне не кажется сколько-нибудь красивым. В первую очередь потому, что, изучая многообразие, мы совсем не обращаемся к каким-то внешним пространствам, они нам не нужны и неинтересны. Когда мы рассматриваем бутылку Клейна и проективную плоскость, нам неважно, что они реализуемы в виде поверхностей в $\mathbb{R}^4$; даже если бы не были реализуемы, это нисколько не сделало бы эти пространства менее интересными. Вот почему многообразия должны определяться как топологические пространства, а не как поверхности или их классы.)

Когда мы склеиваем двумерное многообразие из разных кусков, приклеиваем к нему ручки и плёнки Мёбиуса, или получаем его из многоугольных развёрток - тут незаменимо понятие фактортопологии, без которого это всё строго не обосновать. А фактортопология - это понятие из общей топологии.

У меня есть представление об оптимальном плане изучения топологии, как-то так:
Основы (топологические пространства, замыкания, границы и внутренности множеств, открытые и замкнутые множества, гомеоморфизмы и изотопии; см. мои комментарии в теме topic113342.html) => Теория метрических пространств (в частности, свойства открытых и замкнутых множеств в этих пространствах) => Общая топология в терминах системы открытых множеств (для настоящего понимания которой нужна подготовка в виде предыдущего этапа) => Фактортопология и "склеивания" топологических пространств (в качестве примера можно рассмотреть проективную плоскость) => Многообразия (вводимые согласно данному выше определению; здесь интересно посмотреть и прочувствовать, какую роль в этом определении играет хаусдорфовость, счётность базы) => Двумерные многообразия и их классификация - и тут мы уже подходим к гомотопиям, гомологиям, когомологиям и прочему.

И в этом плане я не вижу ни одной резкой границы, каждый этап плавно переходит в следующий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18810
Уфа
Munin в сообщении #1177527 писал(а):
Вы смотрели Вавилова Mengenlehre?
Смотрел-то смотрел, но не уверен в том, что можно её читать первым делом, а не после получения той самой базы, о которой тут разговор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61313
arseniiv в сообщении #1177608 писал(а):
Смотрел-то смотрел, но не уверен в том, что можно её читать первым делом, а не после получения той самой базы, о которой тут разговор.

Я тоже не уверен.

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):
Какой-то пропасти между общей и алгебраической топологиями я не вижу; более того, не вижу и чёткой грани между ними.

Одно дело - пропасть между науками, и другое - между учебниками. "Общая топология" интересутся "патологиями", то есть топологиями, устроенными не как область $\mathbb{R}^n$ в окрестности. А как только мы отвлекаемся от "патологий", например, переходим к клеточным пространствам, то предмет изучения сильно меняется, меняется и точка зрения, и метод.

Всё, что вы пишете, мне известно, но на моё мнение не влияет. И кстати, я не произносил слова "пропасть". Мне кажется, тут ближе образ "излома".

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):
Конечно, при желании можно определить многообразие и по-другому, как класс гомеоморфных друг другу $n$-мерных поверхностей в евклидовых пространствах любой конечной размерности - но это определение мне не кажется сколько-нибудь красивым.

Мне приятно определение через карты и атласы. Оно удобно в дифференциальной геометрии.

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):
У меня есть представление об оптимальном плане изучения топологии

Это практически план изучения "общей топологии". Алгебраическая остаётся неохваченной, кроме небольшого иллюстративного случая двух измерений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
3911
Munin в сообщении #1177622 писал(а):
"Общая топология" интересутся "патологиями"
Общая потология? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 00:00 


11/08/16
30/03/17
303
knizhnik в сообщении #1177437 писал(а):
Munin в сообщении #1177234 писал(а):
Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.
Нет, логика не выразима через арифметику целых чисел.
Munin в сообщении #1177527 писал(а):
knizhnik
Замечания я буду принимать от кого-то более компетентного, чем вы.
Моих компетенций вполне достаточно, чтобы сделать вам такое замечание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5432
Ну, вообще, основная часть доказательства теоремы Геделя о неполноте - это выражение логики через арифметику целых чисел, в некотором смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
3911
Я учился математической логике по уже упомянутой книжке Клини. Там язык, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первого порядка в полном составе включены в формальную арифметику. Это значит, что любая формула и любой вывод логики первого порядка являются также формулой и выводом формальной арифметики, т.е., имея арифметику, мы автоматически имеем и логику первого порядка как ее часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 10:48 


11/08/16
30/03/17
303
Xaositect в сообщении #1177710 писал(а):
Ну, вообще, основная часть доказательства теоремы Геделя о неполноте - это выражение логики через арифметику целых чисел, в некотором смысле.
Ну, нет. Это выражение не логики, а логического синтаксиса. Ясно, что таким же способом можно нумеровать предложения любого языка, хоть даже поэзию Серебряного века при желании.

(Оффтоп)

На вопрос о том, можно ли аксиомы логики записать как геделевы числа, а правила подстановки и вывода как специфические операции в арифметике, ответ по-моему однозначный. То есть нет, нельзя. Рассмотрим хотя бы подстановку. В ИВ можно одну формулу подставить вместо буквы в другую. Причем если букв там больше одной, то и вариантов подстановки больше одного.
С точки зрения геделевой нумерации в разложении по степеням в этот момент происходит сдвиг старых показателей степеней и вставка на их место новых показателей. Системы целых чисел с арифметическими операциями для описания всевозможных сдвигов и вставок явно недостаточно.
Безусловно, можно с показателями степеней работать и чисто синтаксически, чисто вручную. Но тогда при чем тут арифметика?

Anton_Peplov в сообщении #1177739 писал(а):
аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первого порядка в полном составе включены в формальную арифметику
Они всегда включены в любую теорию первого порядка, явно или неявно.
Anton_Peplov в сообщении #1177739 писал(а):
имея арифметику, мы автоматически имеем и логику первого порядка как ее часть.
Проще говоря, арифметика первого порядка выразима в логике первого порядка, а не наоборот. Ну да. Конечно. А то мы не знали!
Нет смысла отстаивать чужое нелепое утверждение. Фраза "все эти разделы выразимы друг через друга" есть просто нелепость, из нее невозможно сделать что-то разумное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
3911
Предлагаю сосчитать протоны в ядре. Есть подозрение, что их семьдесят девять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 11:58 


11/08/16
30/03/17
303
Anton_Peplov в сообщении #1177809 писал(а):
Предлагаю сосчитать протоны в ядре. Есть подозрение, что их семьдесят девять.
Ну, что тут сказать... Приведите самостоятельные попытки решения этого вопроса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение17.12.2016, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5432

(Оффтоп)

knizhnik в сообщении #1177801 писал(а):
На вопрос о том, можно ли аксиомы логики записать как геделевы числа, а правила подстановки и вывода как специфические операции в арифметике, ответ по-моему однозначный. То есть нет, нельзя. Рассмотрим хотя бы подстановку. В ИВ можно одну формулу подставить вместо буквы в другую. Причем если букв там больше одной, то и вариантов подстановки больше одного.
С точки зрения геделевой нумерации в разложении по степеням в этот момент происходит сдвиг старых показателей степеней и вставка на их место новых показателей. Системы целых чисел с арифметическими операциями для описания всевозможных сдвигов и вставок явно недостаточно.
А зачем нам еще геделевские номера, если не для того, чтобы выражать правила вывода? Все основные синтаксические операции, включая подстановку, являются примитивно-рекурсивными на геделевых номерах, а следовательно, выразимы арифметическими предикатами. Подробнее в учебнике Мендельсона, глава 3.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 12d3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group