2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Как можно и как нельзя - о длине кривой
Сообщение24.11.2016, 16:19 
Заслуженный участник


14/01/11
1602
Red_Herring, мои извинения, совсем забыл математику. Это же классический пример :facepalm:
Только корректнее всё же было бы записать функцию как $$y(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2\sin \frac{1}{x^4}, & x \neq 0 \\ 
0, & x=0
\end{matrix}\right$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как можно и как нельзя - о длине кривой
Сообщение24.11.2016, 17:33 


15/06/15
51
Москва
Brukvalub в сообщении #1171425 писал(а):
nazarov_m, как вы здесь не крутитесь, все равно коротко доказать формулу длины кривой не выйдет. Ведь вы не учитываете, что в определении длины длина - это точная верхняя грань длин вписанных ломаных, если эта твг конечна. Вы же без обоснования считаете, что при измельчении разбиения параметра кривой, да еще и только на равные отрезки, длина соответствующей разбиению ломаной приближается к этой твг. Но это тоже нужно обосновывать!

Вы правы, но через $\sup\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|$, где супремум берётся по всем возможным разбиения, эту длину выводить слишком сложно. Вполне можно ограничиться гладкими кривыми и тогда переход к $\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|$ работает. Я подразумевал что для них мы эту простую формулу можем использовать как эквивалентное определение. Да, можно конечно для начала доказательство эквивалентности между ними для гладких кривых привести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как можно и как нельзя - о длине кривой
Сообщение05.12.2016, 08:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5477
Новосибирск
nazarov_m в сообщении #1171447 писал(а):
Я подразумевал что для них мы эту простую формулу можем использовать как эквивалентное определение

А с какой стати они эквивалентны? Стандартное годится, в частности, для ломаных, которые не очень-то и гладки.
Или я не понял, что Вы подразумевали - Вам ведь указали на способ разбиения, а не на выбор класса кривых с определимой длиной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как можно и как нельзя - о длине кривой
Сообщение05.12.2016, 15:55 
Заслуженный участник


11/05/08
31199
nazarov_m в сообщении #1171447 писал(а):
через $\sup\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|$, где супремум берётся по всем возможным разбиения, эту длину выводить слишком сложно.

Ничего сложного. Достаточно очевидно, что супремум может быть получен как предел длин ломаных по некоторой последовательности измельчающихся разбиений. И уж коль скоро известно, что интеграл существует -- он и будет этим пределом.

Кстати, имейте в виду:

nazarov_m в сообщении #1171287 писал(а):
гладкость кривой --- это значит что определены и непрерывны производные по $t$ для всех компонент, задающих $\bold{f}(t)$.

-- не только. Нужно ещё, чтобы вектор производной нигде не обращался в ноль. В основном причины постановки этого требования сугубо эстетические, но заодно оно ещё и чуть упрощает некоторые моменты доказательства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group