Как можно и как нельзя - о длине кривой

[nazarov_m]

Red_Herring в сообщении #1171249 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171213 писал(а):

На мой взгляд вы не матанализ репетируете, а придираетесь не по делу, вместо того чтобы затребовать более подробного вывода. При этом в безапелляционной форме постулируете неверность решения. Это как минимум не вежливо с вашей стороны. Получив подробный вывод начинаете придираться к очевидным логическим переходам.

Вопросы: Что такое кривая? И что такое длина кривой? И для каких кривых ваш вывод работает?

Без ответа на эти вопросы Ваше "доказательство" будет кривым

Под кривой подразумевается отображение $ \bold{f}: [a,b] \to R^{2} $, т.е. кривая описывается параметрически. Подразумевается что кривая гладкая, т.е. мы можем посчитать производные по каждой из координате $\bold{f}'(t) = (\bold{f}'_{x}(t), \bold{f}'_{y}(t))$. Обобщить доказательство можно на случай кривых в трёхмерном пространстве, ну и если хотите то и на произвольное n-мерное пространство. Длина такой кривой будет просто по определению равна пределу сумм длин отрезков, которыми мы её приближаем, при условии что мелкость разбиения стремится к нулю. Такой ответ вас удовлетворит?

Т.е. длина по определению равна:
$ Len(\bold{f}) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})\bigg|$, где $ t_{i} = (b-a)i/N $.

[Red_Herring]

nazarov_m в сообщении #1171259 писал(а):

Подразумевается что кривая гладкая, т.е. мы можем посчитать производные по каждой из координате

Ну, например, у кривой, задаваемой уравнением $y= x^2\sin (1/x^4)$, мы можем посчитать производную в каждой точке, но она не только не гладкая, но и не спрямляемая.

Кстати, в разделе ПРР полузнайки не должны раздавать советы.

[nazarov_m]

Red_Herring в сообщении #1171263 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171259 писал(а):

Подразумевается что кривая гладкая, т.е. мы можем посчитать производные по каждой из координате

Ну, например, у кривой, задаваемой уравнением $y= x^2\sin (1/x^4)$, мы можем посчитать производную в каждой точке, но она не только не гладкая, но и не спрямляемая.

Кстати, в разделе ПРР полузнайки не должны раздавать советы.

Как минимум можем посчитать производные. Вообще придираетесь не по существу, я там не говорил что даю определение гладкости, а лишь указывал что нам от неё в первую очередь будет нужно. Помимо этого ещё потребуется свойство для манипуляции с пределом, чтобы можно было его под модуль вектора заносить.

Вообще, если это принципиально настолько, то гладкость кривой --- это значит что определены и непрерывны производные по $t$ для всех компонент, задающих $\bold{f}(t)$.

-- 23.11.2016, 20:04 --

Red_Herring в сообщении #1171263 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171259 писал(а):

Подразумевается что кривая гладкая, т.е. мы можем посчитать производные по каждой из координате

Ну, например, у кривой, задаваемой уравнением $y= x^2\sin (1/x^4)$, мы можем посчитать производную в каждой точке, но она не только не гладкая, но и не спрямляемая.

Кстати, в разделе ПРР полузнайки не должны раздавать советы.

Ну раз вы такой полный знайка, то и давали бы сами ответ инициатору темы.

(Оффтоп)

Есть разная степень подробности при описании решения (слишком многие шаги могут представляться очевидными), также вполне можно оговориться или описаться. Ну так прямо и задавайте вопросы по существу, или укажите на эту оговорку. Вместо этого некоторым почему-то обязательно нужно закатывать глаза и с многозначительным видом говорить что всё это бред и чушь. Конечно не дав при этом своего решения.

[Red_Herring]

nazarov_m в сообщении #1171287 писал(а):

Ну так прямо и задавайте вопросы по существу, или укажите на эту оговорку.

ТС правильно указали: читать учебники. Вам же захотелось продемонстрировать эрудицию ерундицию. И есть разница между неподробным ответом, и просто неверным.

nazarov_m в сообщении #1171287 писал(а):

Вообще, если это принципиально настолько, то гладкость кривой --- это значит что определены и непрерывны производные по $t$ для всех компонент, задающих $\bold{f}(t)$.

Да, это принципиально.

Булгаков в романе «Мастер и Маргарита» писал(а):

Хамить не надо по телефону на форуме. .... Понятно?

[nazarov_m]

Red_Herring в сообщении #1171303 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171287 писал(а):

Ну так прямо и задавайте вопросы по существу, или укажите на эту оговорку.

ТС правильно указали: читать учебники. Вам же захотелось продемонстрировать эрудицию ерундицию. И есть разница между неподробным ответом, и просто неверным.

Если тема не сносится, то подразумевается что там должен появиться более содержательный ответ, либо рекомендации к его получению, либо просто общие идеи. А то ведь можно просто всегда на "помогите разобраться" отправлять читать учебник. И написать бота, который будет такой ответ всем в разделе отправлять.
ТС было интересно откуда там взялся корень вида $\sqrt{1+ f'^{2}}$ под интегралом. Ответ был дан вполне корректный, но вот возникла проблема с его интрепретацией у некоторых участников дискуссии. Ну ладно бы попросили нормально уточнить, но ведь начали обвинять во всех смертных грехах. При этом не понятно чего вы собственно хотите. Желаете чтобы были даны вначале определения кривой на плоскости, затем гладкой кривой, дано определение длины кривой, и потом сформулирована "теорема о длине кривой"? После чего надо видимо было привести пошаговый вывод этой формулы, не опуская процедуры разбиения предела, занесения одного предела под сумму и под модуль? А ну и объяснить почему это можно сделать, и как мы тут пользуемся гладкостью кривой? А потом ещё про интегральную сумму рассказать, как там она сворачивается, почему получится такой итоговый интеграл?
Да, а если решение не расписано по шагам, а просто приведён набросок, то это конечно полнейшее непонимание предмета. Надо писать какую-то ерунду про невозможность посчитать длину через отрезки, ведь кривая на них не может быть разбита, а разбивается только на дуги. И конечно придираться к пропущенным словам, всё это здорово поможет ТС разобраться в его вопросе и позволит защитить науку от назойливых профанов, которые толком не разобрались в матане, а уже пытаются выводить уравнение для длины кривой.

[nazarov_m]

Наверное проще всего было просто сослаться на теорему о среднем Лагранжа по каждой из компонент вектора. Переход к производной в промежуточной точке в этом случае сразу становится очевидным. Как и сворачивание всего выражения как интегральной суммы.
В любом случае уму не постижимо как можно было решить, что на замену правильной формуле для рассчёта длины была предложена "новая уникальная". Вроде бы очевидно что $\sqrt{1+ f'^{2}} $ подразумевает модуль некоторого вектора, и попытаться показать что за вектор и откуда он там берётся вполне логично.

[Red_Herring]

Совет читать учебники исходил от участника, который имеет несколько больший, чем у Вас, опыт оказания помощи, и который совершенно правильно определил, что этот совет самый разумный, хотя бы потому, что согласно правилам ПРР прежде всего задающий вопрос должен продемонстрировать самостоятельные попытки. В данном случае: найти определение длины кривой в учебнике.

[Brukvalub]

nazarov_m в сообщении #1171362 писал(а):

Надо писать какую-то ерунду про невозможность посчитать длину через отрезки, ведь кривая на них не может быть разбита, а разбивается только на дуги.

Это не "ерунда", а верное утверждение.

nazarov_m в сообщении #1171362 писал(а):

И конечно придираться к пропущенным словам, всё это здорово поможет ТС разобраться в его вопросе и позволит защитить науку от назойливых профанов, которые толком не разобрались в матане, а уже пытаются выводить уравнение для длины кривой.

Из-за пропущенных слов ваша писанина теряла смысл, поэтому требование писать без пропуска слов является разумным и обоснованным. Вы же писали не для нас, а для вопрошающего. Мы-то знаем, где и какие слова вами потеряны, а вопрошающий этого не знает. Как он сможет правильно понять вашу писанину с пропусками слов, если эти пропуски кардинально искажают смысл?

nazarov_m в сообщении #1171382 писал(а):

Наверное проще всего было просто сослаться на теорему о среднем Лагранжа по каждой из компонент вектора. Переход к производной в промежуточной точке в этом случае сразу становится очевидным.

Вы снова и снова выказываете безграмотность. Ведь у каждой компоненты появится СВОЯ промежуточная точка для производной в формуле Лагранжа, как из них собрать единую точку, чтобы перейти к интегральной сумме? Или вы думаете, что есть полный аналог формулы Лагранжа для вектор-функции? Вынужден вас разочаровать, такого полного аналога нет.

nazarov_m в сообщении #1171382 писал(а):

В любом случае уму не постижимо как можно было решить, что на замену правильной формуле для рассчёта длины была предложена "новая уникальная". Вроде бы очевидно что $\sqrt{1+ f'^{2}} $ подразумевает модуль некоторого вектора, и попытаться показать что за вектор и откуда он там берётся вполне логично.

Вы, ничего не комментируя, просто использовали обозначения вопрошающего, а в его обозначениях и речи о векторах не шло. Как ему (да и мне) могло стать "очевидным ", что теперь это векторные обозначения? Здесь мало медиумов...

[nazarov_m]

Brukvalub в сообщении #1171395 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171362 писал(а):

Надо писать какую-то ерунду про невозможность посчитать длину через отрезки, ведь кривая на них не может быть разбита, а разбивается только на дуги.

Это не "ерунда", а верное утверждение.

Пуризм и формализм, пустой повод пообвинять кого-то в кардинальном незнании предмета. Вам же очевидно что длину все равно можно отлично считать через эти отрезки и никаких дуг для этого не нужно? Да, верно говорить не "разбиваем кривую на отрезки", а "разбиваем на дуги и заменяем их отрезками".

Brukvalub в сообщении #1171395 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171362 писал(а):

И конечно придираться к пропущенным словам, всё это здорово поможет ТС разобраться в его вопросе и позволит защитить науку от назойливых профанов, которые толком не разобрались в матане, а уже пытаются выводить уравнение для длины кривой.

Из-за пропущенных слов ваша писанина теряла смысл, поэтому требование писать без пропуска слов является разумным и обоснованным. Вы же писали не для нас, а для вопрошающего. Мы-то знаем, где и какие слова вами потеряны, а вопрошающий этого не знает. Как он сможет правильно понять вашу писанину с пропусками слов, если эти пропуски кардинально искажают смысл?

Это вообще-то обычное дело --- пропускать что-то во фразе, ведь не по учебнику пишу назубок, а на ходу придумываю. Искажение смысла при этом будет в том случае, если эти пропуски не заполняются интуитивно, а всё читается дословно как программа для компьютера. Ну в любом случае можно вежливо на них указать, а не писать опять про "полнейшее непонимание предмета". Исправлю, напишу подробнее, радикальной проблемы тут не вижу.

Brukvalub в сообщении #1171395 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171382 писал(а):

Наверное проще всего было просто сослаться на теорему о среднем Лагранжа по каждой из компонент вектора. Переход к производной в промежуточной точке в этом случае сразу становится очевидным.

Вы снова и снова выказываете безграмотность. Ведь у каждой компоненты появится СВОЯ промежуточная точка для производной в формуле Лагранжа, как из них собрать единую точку, чтобы перейти к интегральной сумме? Или вы думаете, что есть полный аналог формулы Лагранжа для вектор-функции? Вынужден вас разочаровать, такого полного аналога нет.

Вынужден вас обрадовать, придумал его за 10 минут, перед тем как это запостить. Ну вот вам доказательство для вектор-функции. Возьмём и перейдём от вектор функции к её параметризированному альтер-эго. Пусть наша исходная вектор-функция это $ \bold{f} : R^{n} \to R $ (понятное дело надо потребовать чтобы она была дифференцируемая). Зафиксируем две точки в нашем пространстве $ X,Y \in R^{n} $ и определим "альтер-эго" функцию $ g(t) = \bold{f}\Big((1-t)X+tY\Big) $. Воспользуемся теоремой о среднем для этой функции $g$, ведь это дифференцируемая функция от одной переменной. И в итоге получим:

$$ g(1)-g(0)=g'(c) $$

Это сработало для некоторого $c \in [0,1] $. А теперь воспользуемся обратной заменой, учтя что $\bold{f}(Y) = g(1) $ и $ \bold{f}(X) = g(0) $, и получим искомое.

$$\bold{f}(Y)-\bold{f}(X)=\nabla \bold{f}\Big((1-c)X+cY\Big)\cdot (Y-X)$$

Brukvalub в сообщении #1171395 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171382 писал(а):

В любом случае уму не постижимо как можно было решить, что на замену правильной формуле для рассчёта длины была предложена "новая уникальная". Вроде бы очевидно что $\sqrt{1+ f'^{2}} $ подразумевает модуль некоторого вектора, и попытаться показать что за вектор и откуда он там берётся вполне логично.

Вы, ничего не комментируя, просто использовали обозначения вопрошающего, а в его обозначениях и речи о векторах не шло. Как ему (да и мне) могло стать "очевидным ", что теперь это векторные обозначения? Здесь мало медиумов...

Каюсь, тут и правда согрешил, поленился. Надо было записать все базовые соображения про вектор, его модуль и как его там можно попробовать получить.

-- 24.11.2016, 09:37 --

Red_Herring в сообщении #1171385 писал(а):

Совет читать учебники исходил от участника, который имеет несколько больший, чем у Вас, опыт оказания помощи, и который совершенно правильно определил, что этот совет самый разумный, хотя бы потому, что согласно правилам ПРР прежде всего задающий вопрос должен продемонстрировать самостоятельные попытки. В данном случае: найти определение длины кривой в учебнике.

Насчёт определения длины ещё могу согласиться, хотя логично также попробовать самостоятельного его дать, а потом уже полезть в учебник и сравнить. Но вот насчёт того чтобы подсмотреть в учебнике готовое решение и вывод формулы --- совсем не согласен. Вначале надо постараться самостоятельно вывести эту формулу, а потом уже смотреть как она выводится в учебнике.

[Mikhail_K]

nazarov_m в сообщении #1171396 писал(а):

Пусть наша исходная вектор-функция это $ \bold{f} : R^{n} \to R $

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ не есть вектор-функция.
Вектор-функция есть $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$.
И в Ваших рассуждениях именно такая функция.
И для неё нет полного аналога формулы Лагранжа.

[Red_Herring]

nazarov_m в сообщении #1171396 писал(а):

Насчёт определения длины ещё могу согласиться, хотя логично также попробовать самостоятельного его дать, а потом уже полезть в учебник и сравнить. Но вот насчёт того чтобы подсмотреть в учебнике готовое решение и вывод формулы --- совсем не согласен. Вначале надо постараться самостоятельно вывести эту формулу, а потом уже смотреть как она выводится в учебнике.

Мы говорим о конкретном участнике, который не был замечен в попытках хоть что-нибудь сделать самостоятельно. Не только в этой теме, но и вообще. Поэтому его и послали к учебнику, а Вы вместо этого притащили наспех сляпанный Вами "учебник". И дело даже не в том, что с ошибками, а в том, что так была очень слабая надежда что ТС самостоятельно что нибудь выучит. А так он прочтет по диагонали Ваш опус, ничего не поймет, но скажет "я понял, я умный".

[nazarov_m]

Mikhail_K в сообщении #1171399 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171396 писал(а):

Пусть наша исходная вектор-функция это $ \bold{f} : R^{n} \to R $

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ не есть вектор-функция.
Вектор-функция есть $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$.
И в Ваших рассуждениях именно такая функция.
И для неё нет полного аналога формулы Лагранжа.

Да, согласен, так просто не получится. Ну можно тогда переписать через определение предела на $\delеф$, $\varepsilon$ языке.
Если мы предполагаем, что производная определена во всех точках для всех компонент вектор-функции, то получается что

$$ \forall \varepsilon >0 \exists \delta : \Delta t < \delta \Rightarrow \left|\bigg|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\bigg|-\Big|f'(t_i)\Big|\right|<\varepsilon $$

Тогда переходя к сумме получим: $\left| \sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t-\sum\limits_{i=1}^N \Big|f'(t_i)\Big|\Delta t \right| < (b-a) \varepsilon $, если выбрано $N>(b-a)/\delta(\varepsilon) $.
Переходя к пределу получим совпадение для этих двух сумм.

-- 24.11.2016, 14:12 --

Red_Herring в сообщении #1171403 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171396 писал(а):

Насчёт определения длины ещё могу согласиться, хотя логично также попробовать самостоятельного его дать, а потом уже полезть в учебник и сравнить. Но вот насчёт того чтобы подсмотреть в учебнике готовое решение и вывод формулы --- совсем не согласен. Вначале надо постараться самостоятельно вывести эту формулу, а потом уже смотреть как она выводится в учебнике.

Мы говорим о конкретном участнике, который не был замечен в попытках хоть что-нибудь сделать самостоятельно. Не только в этой теме, но и вообще. Поэтому его и послали к учебнику, а Вы вместо этого притащили наспех сляпанный Вами "учебник". И дело даже не в том, что с ошибками, а в том, что так была очень слабая надежда что ТС самостоятельно что нибудь выучит. А так он прочтет по диагонали Ваш опус, ничего не поймет, но скажет "я понял, я умный".

Ясно, предыдущие вопросы ТС тоже были без попыток самостоятельного решения. Тогда вы правы, подсказывать в любом виде не следовало.

[Brukvalub]

nazarov_m, как вы здесь не крутитесь, все равно коротко доказать формулу длины кривой не выйдет. Ведь вы не учитываете, что в определении длины длина - это точная верхняя грань длин вписанных ломаных, если эта твг конечна. Вы же без обоснования считаете, что при измельчении разбиения параметра кривой, да еще и только на равные отрезки, длина соответствующей разбиению ломаной приближается к этой твг. Но это тоже нужно обосновывать!

[Sender]

Red_Herring в сообщении #1171263 писал(а):

Ну, например, у кривой, задаваемой уравнением $y= x^2\sin (1/x^4)$, мы можем посчитать производную в каждой точке, но она не только не гладкая, но и не спрямляемая.

Справедливости ради, мы не можем посчитать её производную в нуле.

[Red_Herring]

Sender в сообщении #1171430 писал(а):

Справедливости ради, мы не можем посчитать её производную в нуле.

Прекрасно можем: $|y(x)|\le x^2 \implies y'(0)=0$. Другое дело, что $y'(x)$ неограниченна вблизи $0$.