Как можно и как нельзя - о длине кривой

[Sender]

Red_Herring, мои извинения, совсем забыл математику. Это же классический пример
Только корректнее всё же было бы записать функцию как

$$y(x)=\left\{\begin{matrix} x^2\sin \frac{1}{x^4}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{matrix}\right$$

[nazarov_m]

Brukvalub в сообщении #1171425 писал(а):

nazarov_m, как вы здесь не крутитесь, все равно коротко доказать формулу длины кривой не выйдет. Ведь вы не учитываете, что в определении длины длина - это точная верхняя грань длин вписанных ломаных, если эта твг конечна. Вы же без обоснования считаете, что при измельчении разбиения параметра кривой, да еще и только на равные отрезки, длина соответствующей разбиению ломаной приближается к этой твг. Но это тоже нужно обосновывать!

Вы правы, но через $\sup\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|$, где супремум берётся по всем возможным разбиения, эту длину выводить слишком сложно. Вполне можно ограничиться гладкими кривыми и тогда переход к $\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|$ работает. Я подразумевал что для них мы эту простую формулу можем использовать как эквивалентное определение. Да, можно конечно для начала доказательство эквивалентности между ними для гладких кривых привести.

[bot]

nazarov_m в сообщении #1171447 писал(а):

Я подразумевал что для них мы эту простую формулу можем использовать как эквивалентное определение

А с какой стати они эквивалентны? Стандартное годится, в частности, для ломаных, которые не очень-то и гладки.
Или я не понял, что Вы подразумевали - Вам ведь указали на способ разбиения, а не на выбор класса кривых с определимой длиной.

[ewert]

nazarov_m в сообщении #1171447 писал(а):

через $\sup\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|$, где супремум берётся по всем возможным разбиения, эту длину выводить слишком сложно.

Ничего сложного. Достаточно очевидно, что супремум может быть получен как предел длин ломаных по некоторой последовательности измельчающихся разбиений. И уж коль скоро известно, что интеграл существует -- он и будет этим пределом.

Кстати, имейте в виду:

nazarov_m в сообщении #1171287 писал(а):

гладкость кривой --- это значит что определены и непрерывны производные по $t$ для всех компонент, задающих $\bold{f}(t)$.

-- не только. Нужно ещё, чтобы вектор производной нигде не обращался в ноль. В основном причины постановки этого требования сугубо эстетические, но заодно оно ещё и чуть упрощает некоторые моменты доказательства.