2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение02.11.2016, 15:40 
Аватара пользователя


15/09/13
218
г. Ставрополь
Требуется доказать, что для натурального $n = 3$ уравнение
$a^3+b^3=c^3$ (1)
не имеет натуральных решений $a, b$ и $c$.
Доказательство:
Предположим, что параметры $a,b,c,m$ и $a_1,b_1,c_1,m_1$ (для $x=1$) - натуральные числа, $x$ любое натуральное число, при котором выражение $3(c+2x)(ab-2xc)$ из (5) - куб, ОДЗ для $a,b,c,m$ – натуральный ряд.
Тогда (способом от противного):
$a^3+b^3=c^3$ (1)
$a+b=c+m$ (2)
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2x\end{cases}$
Из системы уравнений следует, что $m$ - только четное число:
Если $a$ и $b$ оба четные, то $c$ и $m$ оба четные.
Если $a$ и $b$ нечетные, то $c$ и $m$ четные.
Если $a$ нечетное, а $b$ четное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
Если $a$ четное, а $b$ нечетное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
$(a+b)^3=(c+2x)^3$ (3)
$c^3-(a^3+b^3)=3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ (4)
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6) – наименьший куб ($x=1$).
Между (5) и (6) линейная зависимость.
Но (6) не может быть равенством для любых натуральных $a,b,c$, поэтому
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)>2^3$ (7),
а, следовательно, и
$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)
Но тогда
$ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $).
Что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение02.11.2016, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3464
Швеция
Цитата:
Между (5) и (6) линейная зависимость.

Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.

А кто такие $a_1, b_1, c_1$?

Цитата:
Но (6) не может быть равенством для любых натуральных $a,b,c$

Косноязычие. Вы, видимо, имели в виду
Но (6) не может быть ВЕРНЫМ равенством НИ ДЛЯ КАКИХ натуральных $a,b,c$.

vxv в сообщении #1165436 писал(а):
Но (6) не может быть равенством для любых натуральных $a,b,c$, поэтому
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)>2^3$ (7),
а, следовательно, и
$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)

ПОчему в (7) знак 'больше', а не 'меньше'?




вот это 'следовательно' нужно старательно доказать.
Исправьте и запишите заново, начиная с (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение02.11.2016, 21:15 
Аватара пользователя


10/08/16
102
vxv в сообщении #1165436 писал(а):
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2x\end{cases}$

$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)
А как быть, например, с таким раскладом: $a=7, b=8, c=9;  (x=3)$ ? Получается, $90>216$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение02.11.2016, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3464
Швеция
cmpamer в сообщении #1165533 писал(а):
А как быть, например, с таким раскладом


Не годится. И никакой пример не годится. Ведь $a,b,c$ должны быть решением УФ3. А таких, как некоторые знают, нет.
Другое дело, что обсуждаемое неравенство не доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение02.11.2016, 22:35 
Аватара пользователя


15/09/13
218
г. Ставрополь
vxv в сообщении #1165436 писал(а):
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)>2^3$ (7),
а, следовательно, и
$3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$ (5*)

Уважаемый cmpamer
Сначала Вам нужно «раскладывать» в (7), а затем переходить к (5) (если получится).
Возникает «проблема» знака «минус» в левой части (7), на что указывает shwedka
Но, возможно, пойду на упрощение для $n=3$ - поменяю знак «больше - меньше» на другой…

P.S. Этот вариант доказательства не связан в полном объеме с моей соседней темой topic75889.html .

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение02.11.2016, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3464
Швеция
vxv в сообщении #1165560 писал(а):
Сначала Вам нужно «раскладывать» в (7), а затем переходить к (5) (если получится)


Нет, это ВАМ нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение03.11.2016, 00:03 
Аватара пользователя


10/08/16
102
shwedka в сообщении #1165552 писал(а):
Другое дело, что обсуждаемое неравенство не доказано.
Именно это я и хотел сказать, указав на "контрпример". Про "линейную зависимость" уже и не стал спрашивать (честно признаюсь - побоялся).

-- 03.11.2016, 00:06 --

vxv в сообщении #1165560 писал(а):
Сначала Вам нужно «раскладывать» в (7), а затем переходить к (5) (если получится).
Вот по поводу этого перехода - поподробнее, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение03.11.2016, 05:47 


27/03/12
347
г. новосибирск
Уважаемый vxv! Откуда Вы взяли, что $c^3-(a + b)^3 = 0$? Равенство (5) Вы получили благодаря этому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение14.11.2016, 16:58 
Аватара пользователя


15/09/13
218
г. Ставрополь
shwedka в сообщении #1165444 писал(а):
ПОчему в (7) знак 'больше', а не 'меньше'?

cmpamer в сообщении #1165533 писал(а):
А как быть, например, с таким раскладом: $a=7, b=8, c=9;  (x=3)$ ? Получается, $90>216$ ?

cmpamer в сообщении #1165585 писал(а):
Именно это я и хотел сказать, указав на "контрпример".

Уважаемая shwedka

Попробую обосновать так (есть и другое обоснование). Если областью допустимых значений для равенства $A+B=C$, где $A<B<C$ (например, $1+2=3$) является натуральный ряд, то это равенство может быть преобразовано в другое равенство только в виде $C-B=A$ или $C-A=B$, то есть или $3-2=1$, или $3-1=2$.
Преобразование $A+B=C$ в $B–C=-1$ или $A-C=-2$ не соответствуют ОДЗ – натуральный ряд, из-за отрицательных значений $A=-1$ и $B=-2$.
Для $a^3+b^3-c^3=3(c+2x)(2xc-ab)+(2x)^3$ выражение $3(c+2x)(2xc-ab)+(2x)^3=0$ не соответствуют ОДЗ - натуральный ряд, поскольку $2xc-ab<0$ (отрицательное число).
Тогда (в соответствии с ОДЗ) имеет место быть:
$c^3-(a^3+b^3)=3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ (4), где $ab-2xc>0$ (не отрицательное число).
Также в рамках ОДЗ нельзя из меньшего натурального числа вычитать большее, поэтому в случае неравенства $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $) для (4) имеют место только неравенства:
$c^3>(a^3+b^3)$ и $3(c+2x)(ab-2xc)>(2x)^3$.

cmpamer
В Вашем примере: $7^3+8^3-9^3=3(7+8)(-2)+216$ для $a=7, b=8, c=9; (m=6)$. Число $(-2)$ не входит в ОДЗ - натуральный ряд, и следовательно допустимо при подборе приближать $c$ к $c=10$, а не к $c=9$, но тогда $m=5$ - нечетное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение14.11.2016, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3464
Швеция
vxv в сообщении #1169002 писал(а):
Также в рамках ОДЗ нельзя из меньшего натурального числа вычитать большее

Это утверждение ошибочно.
Вас уже на этом месте останавливали.
От того, что производится операция
$A-B$, числа $A,B$ не перестают быть положительными, каков бы ни был результат вычитания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение14.11.2016, 18:32 
Аватара пользователя


15/09/13
218
г. Ставрополь
shwedka в сообщении #1169012 писал(а):
От того, что производится операция
$A-B$, числа $A,B$ не перестают быть положительными, каков бы ни был результат вычитания.

Операция $A-B$ к преобразованию в рамках ОДЗ равенства $A+B=C$, где $A<B<C$, не имеет отношения. Но преобразование $A+B=C$ в $B-C=-1$ легко превращают $A$ в отрицательное число.
В выражении $3(c+2x)(2xc-ab)+(2x)^3=0$ сочетание $2xc-ab$ - однозначно отрицательное число.
shwedka в сообщении #1165444 писал(а):
Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.

Попробую, заодно:
Прямо пропорциональная зависимость является частным случаем линейной зависимости, а равенство двух отношений называют пропорцией.
Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными.
vasili в сообщении #1165614 писал(а):
Откуда Вы взяли, что $c^3-(a + b)^3 = 0$?

А Вы откуда это взяли? Я такого не писал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение14.11.2016, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3464
Швеция
vxv в сообщении #1169035 писал(а):
Но преобразование $A+B=C$ в $B-C=-1$ легко превращают $A$ в отрицательное число.

Продемонстрируйте это легкое превращение.
только преобразование не в $B-C=-1$, а в $B-C=-A$



vxv в сообщении #1169035 писал(а):
Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными


Не годится. Я спрашивала о линейной зависимости уравнений,
Цитата:
shwedka в сообщении #1165444 писал(а):
Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.

А Вы подменили зависимостью величин. Обман получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение14.11.2016, 23:30 


27/03/12
347
г. новосибирск
Левая часть равенства (4) равна $c^3 - (a + b)^3$. Равенство (5) получено из (4) только при условии если $c^3 - (a + b)^3 = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$
Сообщение03.12.2016, 13:15 
Аватара пользователя


15/09/13
218
г. Ставрополь
shwedka в сообщении #1169052 писал(а):
Не годится. Я спрашивала о линейной зависимости уравнений,
Цитата:

shwedka в сообщении #1165444 писал(а):
Понятие линейной зависимости уравнений не определено. Объясните, что эти слова обозначают.
А Вы подменили зависимостью величин. Обман получается.

Уважаемая shwedka.
Не уверен в необходимости отделять величины от выражений, в которые эти величины входят. Поэтому попробую обосновать, как вижу. И это не обман, а следствие принятого (способом от противного) допущения, что выражения:
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6)
- верные равенства.
Или иначе:
$Y_x = 8X + Z_x$
$Y_1 = 8X_1 + Z_1$,
где $Z_1 = Z_x = 0$, $X=x^3$, $Y_x=3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3+Z_x$
И, наоборот, никакой линейной зависимости, если (6) и (5) на самом деле неравенства:
$Y_x > 8X$
$Y_1 > 8X_1$,
Так как могут быть преобразованы (поскольку $a,b,c,2x$ и $a_1,b_1,c_1,m_1$ связаны соответственно одним коэффициентом пропорциональности $x$) в верные равенства:
$Y_x = 8X + Z_1X$
$Y_1 = 8X_1 + Z_1$,
где $Z_1\neq Z_x\neq0$, $X=x^3$.
То есть во втором случае, в отличие от изначально принятого предположения, точки графиков $Y=3(c+2x)(ab-2xc)$ и $Y=(2x)^3$ при фиксированных значениях $x_1$ и $x$ попарно не совпадают, когда $a,b,c,x$ - натуральные числа.
То есть
$c^3>(a^3+b^3)$,
$ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $.

Поэтому же:
$\sum\limits_{x=1}^{\infty}3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ = $\sum\limits_{x=1}^{\infty}[c_1^3-(a_1^3+b_1^3)]x$ - расходящийся ряд,
когда $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $ и $c^3>a^3+b^3$ (согласно ОДЗ).

 Профиль  
                  
 
 до первок ощибки
Сообщение03.12.2016, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3464
Швеция
vxv в сообщении #1173846 писал(а):
$a,b,c,2x$ и $a_1,b_1,c_1,m_1$ связаны соответственно одним коэффициентом пропорциональности $x$

Утверждение не доказано

Я Вас спрашивала, кто такие $a_1,b_1,c_1$, но ответа не получила.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group