2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.10.2016, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4272
Это не помогло мне понять, каким образом

Vince Diesel в сообщении #1160839 писал(а):
с другой стороны, предел равен $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.10.2016, 18:25 
Заслуженный участник


25/02/11
1466
Да, ошибка в рассуждении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.10.2016, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4272
:( бывает...

Возможно, кто-то ещё из тех, кто комментировал инверсию, выскажется!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.10.2016, 21:43 
Аватара пользователя


31/03/13
25
Vince Diesel, радиус окружности при инверсии будет зависеть ещё и от удаления от центра инверсии. И радиусы образов $C_n$ будут стремиться к нулю.

Про Фурье я не понял. Умножение же не для всех обобщенных функций (медленного роста) определено. Какое ядро мы берём? То есть, что если фурье-образ $f$ окажется сингулярной бякой?

К тому же, я уверен, что в ШАДовской задаче никаких обобщённых функций не предполагалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.10.2016, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4272
quartermind в сообщении #1160914 писал(а):
Про Фурье я не понял. Умножение же не для всех обобщенных функций (медленного роста) определено.


Мы умножаем обобщённую функцию на гладкую, это всегда определено. См. ниже.

Рассмотрим оператор $(Tf)(x)=f(x)-\int_0^{1} f(x+e^{2\pi i s})ds$. Нас интересует ядро этого оператора, т. е. множество функций, которые он переводит в ноль.

Запишите, как этот оператор устроен в Фурье-представлении. Он будет оператором умножения на некоторую гладкую функцию, допустим, $g$. Вычислите эту функцию и найдите её нули. Далее, утверждение исходной задачи равносильно тому, что у функции $g$ есть только один нуль, в начале координат, и он простой, Вот и проверьте это.

Если вдруг окажется, что у $g$ есть нули ещё где-то, отсюда сразу получится контрпример к исходной задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.10.2016, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
Я видел такую идею: если инфимум или супремум значений достигается в некоторой точке, то рассуждение тривиально. В противном случае есть две бесконечно большие последовательности аргументов, по которым функция имеет разные пределы. Инверсия аргумента создает на проколотой в нуле плоскости ограниченную гладкую функцию со "странной" особенностью в нуле. Мне казалось, что наличие такой особенности легко привести к противоречию. Но, немного подумав, я понял, что я не могу вот так запросто прийти к противоречию... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.10.2016, 22:36 
Аватара пользователя


31/03/13
25
g______d, спасибо, действительно всё хорошо, меня смутило, что у меня сначала вовсе положительная функция получилась из-за ошибки.

В итоге, оператор $T$ при преобразовании Фурье (с точностью до нормировки) переходит в умножение на$$ g(x,y) = \frac{1}{\pi^2} \int_0^1 \frac{1-\cos(ru)}{\sqrt{1-u^2}}\,du, \;\text{ где } r = \sqrt{x^2+y^2}$$
Причём единственный нуль у $g$ в начале координат, но не первого порядка, а второго. Ему соответстуют аффинные функции $f(x,y) = Ax+By+C$, из которых ограничены только константы.

Но интересно было бы решить без обобщённых функций. А то гладкость $f$ мы даже не использовали, максимум непрерывность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение11.01.2017, 01:41 


21/02/15
24
МФТИ
quartermind в сообщении #1160930 писал(а):
Но интересно было бы решить без обобщённых функций. А то гладкость $f$ мы даже не использовали, максимум непрерывность.

Пусть $f(x)$ не константа. Тогда $\exists\, x_1, x_2 \in \mathbb{R}^2 \colon ||x_2 - x_1|| = 1,\, f(x_2) > f(x_1)$.
Рассмотрим функцию $g(x) = f(x+h) - f(x), \,h = x_2-x_1$.
Выберем $\varepsilon > 0$ и $x_0$ такими, что $M - \varepsilon < g(x_0) \le M$, где $M = \sup_{x \in \mathbb{R}^2} g(x) > 0$.
Нетрудно показать, что $g(x_0+ nh) > M - K^n \varepsilon$, где $K$ - константа Липшица.
Отсюда $f(x_0 + nh) - f(x_0) = \sum_{i=0}^{n-1} g(x_0 + ih) > nM - \varepsilon \sum_{i=1}^n K^i.
Видно, что мы можем сделать значение $f(x_0 + nh)$ сколь угодно большим $\Rightarrow$ противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение12.01.2017, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
Как минимум, непонятно, почему константа Липшица должна быть меньше единицы. Если же она больше единицы, то противоречия не наступает (есть и другие непонятки, но хочется начать с этой непонятки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение12.01.2017, 00:52 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
Sul в сообщении #1160255 писал(а):
По свойствам похоже на гармоническую функцию, но вряд ли удастся это доказать.

Да легко:
Рассмотрим произвольный круг, и найдем гармоническую в нем функцию, совпадающую с данной на границе круга (решим задачу Дирихле). Разность данной и найденной: она нулевая на границе круга, и для нее выполняется свойство "значение в центре окружности (лежащей в круге) равно среднему по окружности". Поэтому, ее максимум на круге (да и минимум) достигается на границе круга - как и было написано
Sul в сообщении #1160255 писал(а):
и так далее,

Поэтому разность равна нулю - на круге.
Итак: данная функция - гармоническая на любом круге - а , значит, и на всей плоскости. По теореме Лиувилля для гармонических, она - константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение12.01.2017, 07:28 
Заслуженный участник


22/11/10
1108
Brukvalub в сообщении #1183851 писал(а):
Как минимум, непонятно, почему константа Липшица должна быть меньше единицы. Если же она больше единицы, то противоречия не наступает (есть и другие непонятки, но хочется начать с этой непонятки).

Мне кажется, что предложенное решение вполне поправимо.
Во-первых. Исходную функцию надо свернуть с каким-нибудь гладким финитным ядром. Тогда и липшицевость будет. Кроме того, можно избавиться от исходного требования гладкости функции.
Далее, если изначально выбрать $\varepsilon$ достаточно малым, то возникает последовательность $\varepsilon_n$, причем
$\varepsilon^2_{n+1} \leqslant 2\pi K \varepsilon_n$
Бесконечные ряды суммировать не надо. Для противоречия достаточно добиться, чтобы $nM$ было велико. Так что выбираем "большое" $n$ и потому уже "малое" $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение12.01.2017, 08:39 
Заслуженный участник


11/05/08
30999
По-моему, это просто теорема Остроградского-Гаусса.

Если взять производную от среднего вдоль окружности по радиусу этой окружности (которая равна нулю), то получится комбинация интеграла по окружности от нормальной производной и интеграла от самой функции. Следовательно, интеграл от нормальной производной равен нулю (хотя бы потому, что из функции можно вычесть её значение в центре). Однако интеграл от нормальной производной по окружности равен двойному интегралу от лапласиана по кругу. Т.е. такой интеграл по любому кругу равен нулю. Но тогда и сам лапласиан тождественно равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение12.01.2017, 10:19 
Заслуженный участник


22/11/10
1108
Чтобы взять производную по радиусу, надо рассмотреть окружности разного радиуса. А нам разрешено использовать только $r = 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение12.01.2017, 18:32 
Заслуженный участник


11/05/08
30999
А, это я не обратил внимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение12.01.2017, 21:23 


21/02/15
24
МФТИ
sup в сообщении #1183909 писал(а):
Исходную функцию надо свернуть с каким-нибудь гладким финитным ядром. Тогда и липшицевость будет. Кроме того, можно избавиться от исходного требования гладкости функции.

Если честно, не совсем понял зачем. Липшицевость (локальная) же напрямую следует из гладкости, которая дана в условии. Вот если избавляться от исходного требования и доказывать для непрерывных, тогда да, функцию нужно будет модифицировать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group