Доказать, что функция постоянна

[g______d]

Это не помогло мне понять, каким образом

Vince Diesel в сообщении #1160839 писал(а):

с другой стороны, предел равен $m$.

[Vince Diesel]

Да, ошибка в рассуждении.

[g______d]

:( бывает...

Возможно, кто-то ещё из тех, кто комментировал инверсию, выскажется!

[quartermind]

Vince Diesel, радиус окружности при инверсии будет зависеть ещё и от удаления от центра инверсии. И радиусы образов $C_n$ будут стремиться к нулю.

Про Фурье я не понял. Умножение же не для всех обобщенных функций (медленного роста) определено. Какое ядро мы берём? То есть, что если фурье-образ $f$ окажется сингулярной бякой?

К тому же, я уверен, что в ШАДовской задаче никаких обобщённых функций не предполагалось.

[g______d]

quartermind в сообщении #1160914 писал(а):

Про Фурье я не понял. Умножение же не для всех обобщенных функций (медленного роста) определено.

Мы умножаем обобщённую функцию на гладкую, это всегда определено. См. ниже.

Рассмотрим оператор $(Tf)(x)=f(x)-\int_0^{1} f(x+e^{2\pi i s})ds$. Нас интересует ядро этого оператора, т. е. множество функций, которые он переводит в ноль.

Запишите, как этот оператор устроен в Фурье-представлении. Он будет оператором умножения на некоторую гладкую функцию, допустим, $g$. Вычислите эту функцию и найдите её нули. Далее, утверждение исходной задачи равносильно тому, что у функции $g$ есть только один нуль, в начале координат, и он простой, Вот и проверьте это.

Если вдруг окажется, что у $g$ есть нули ещё где-то, отсюда сразу получится контрпример к исходной задаче.

[Brukvalub]

Я видел такую идею: если инфимум или супремум значений достигается в некоторой точке, то рассуждение тривиально. В противном случае есть две бесконечно большие последовательности аргументов, по которым функция имеет разные пределы. Инверсия аргумента создает на проколотой в нуле плоскости ограниченную гладкую функцию со "странной" особенностью в нуле. Мне казалось, что наличие такой особенности легко привести к противоречию. Но, немного подумав, я понял, что я не могу вот так запросто прийти к противоречию...

[quartermind]

g______d, спасибо, действительно всё хорошо, меня смутило, что у меня сначала вовсе положительная функция получилась из-за ошибки.

В итоге, оператор $T$ при преобразовании Фурье (с точностью до нормировки) переходит в умножение на

$$ g(x,y) = \frac{1}{\pi^2} \int_0^1 \frac{1-\cos(ru)}{\sqrt{1-u^2}}\,du, \;\text{ где } r = \sqrt{x^2+y^2}$$

Причём единственный нуль у $g$ в начале координат, но не первого порядка, а второго. Ему соответстуют аффинные функции $f(x,y) = Ax+By+C$, из которых ограничены только константы.

Но интересно было бы решить без обобщённых функций. А то гладкость $f$ мы даже не использовали, максимум непрерывность.

[e.mazhnik]

quartermind в сообщении #1160930 писал(а):

Но интересно было бы решить без обобщённых функций. А то гладкость $f$ мы даже не использовали, максимум непрерывность.

Пусть $f(x)$ не константа. Тогда $\exists\, x_1, x_2 \in \mathbb{R}^2 \colon ||x_2 - x_1|| = 1,\, f(x_2) > f(x_1)$.
Рассмотрим функцию $g(x) = f(x+h) - f(x), \,h = x_2-x_1$.
Выберем $\varepsilon > 0$ и $x_0$ такими, что $M - \varepsilon < g(x_0) \le M$, где $M = \sup_{x \in \mathbb{R}^2} g(x) > 0$.
Нетрудно показать, что $g(x_0+ nh) > M - K^n \varepsilon$, где $K$ - константа Липшица.
Отсюда $f(x_0 + nh) - f(x_0) = \sum_{i=0}^{n-1} g(x_0 + ih) > nM - \varepsilon \sum_{i=1}^n K^i.
Видно, что мы можем сделать значение $f(x_0 + nh)$ сколь угодно большим $\Rightarrow$ противоречие.

[Brukvalub]

Как минимум, непонятно, почему константа Липшица должна быть меньше единицы. Если же она больше единицы, то противоречия не наступает (есть и другие непонятки, но хочется начать с этой непонятки).

[DeBill]

Sul в сообщении #1160255 писал(а):

По свойствам похоже на гармоническую функцию, но вряд ли удастся это доказать.

Да легко:
Рассмотрим произвольный круг, и найдем гармоническую в нем функцию, совпадающую с данной на границе круга (решим задачу Дирихле). Разность данной и найденной: она нулевая на границе круга, и для нее выполняется свойство "значение в центре окружности (лежащей в круге) равно среднему по окружности". Поэтому, ее максимум на круге (да и минимум) достигается на границе круга - как и было написано

Sul в сообщении #1160255 писал(а):

и так далее,

Поэтому разность равна нулю - на круге.
Итак: данная функция - гармоническая на любом круге - а , значит, и на всей плоскости. По теореме Лиувилля для гармонических, она - константа.

[sup]

Brukvalub в сообщении #1183851 писал(а):

Как минимум, непонятно, почему константа Липшица должна быть меньше единицы. Если же она больше единицы, то противоречия не наступает (есть и другие непонятки, но хочется начать с этой непонятки).

Мне кажется, что предложенное решение вполне поправимо.
Во-первых. Исходную функцию надо свернуть с каким-нибудь гладким финитным ядром. Тогда и липшицевость будет. Кроме того, можно избавиться от исходного требования гладкости функции.
Далее, если изначально выбрать $\varepsilon$ достаточно малым, то возникает последовательность $\varepsilon_n$, причем
$\varepsilon^2_{n+1} \leqslant 2\pi K \varepsilon_n$
Бесконечные ряды суммировать не надо. Для противоречия достаточно добиться, чтобы $nM$ было велико. Так что выбираем "большое" $n$ и потому уже "малое" $\varepsilon$.

[ewert]

По-моему, это просто теорема Остроградского-Гаусса.

Если взять производную от среднего вдоль окружности по радиусу этой окружности (которая равна нулю), то получится комбинация интеграла по окружности от нормальной производной и интеграла от самой функции. Следовательно, интеграл от нормальной производной равен нулю (хотя бы потому, что из функции можно вычесть её значение в центре). Однако интеграл от нормальной производной по окружности равен двойному интегралу от лапласиана по кругу. Т.е. такой интеграл по любому кругу равен нулю. Но тогда и сам лапласиан тождественно равен нулю.

[sup]

Чтобы взять производную по радиусу, надо рассмотреть окружности разного радиуса. А нам разрешено использовать только $r = 1$.

[ewert]

А, это я не обратил внимания.

[e.mazhnik]

sup в сообщении #1183909 писал(а):

Исходную функцию надо свернуть с каким-нибудь гладким финитным ядром. Тогда и липшицевость будет. Кроме того, можно избавиться от исходного требования гладкости функции.

Если честно, не совсем понял зачем. Липшицевость (локальная) же напрямую следует из гладкости, которая дана в условии. Вот если избавляться от исходного требования и доказывать для непрерывных, тогда да, функцию нужно будет модифицировать.