Покритикуйте пожалуйста, мою статью по математической логике

[Albert Magnus]

Почему мир непознаваем?

Пусть существует непустой класс T каких-то теорий, в котором содержатся отличные друг от друга формальные логические теории. Т.е.: $\exists T$ $:=$ {$t_1, t_2, t_3$,.....}.

Для всех $t$ из $T$ справедливо $P(t)$, где предикат $P$ - свойство, заключающееся в том, что все эти теории не совпадают друг с другом, а их пересечение пусто (т.е. теории несовместны), сам этот предикат зависит от одной из теорий из $T$. Подробнее об этом будет сообщено ниже. Сейчас же мы акцентируем внимание на пояснении свойства класса $T$. Теории несовместны, только и если только существует такая формула $A$, принадлежащая теории $t_i$, что в теории $t_j$ существует формула $\neg А$, и в рамках каждой из этих двух теорий эти формулы истинны всегда и везде (т.е. не существует исключений, случаев, в которых верно $\neg A$, это бы позволило нам совместить теории).

Более формализовано: $T$ $:=$ {$t$ | $\forall t_i$ $\exists t_j$ : (($t_i$ $\cap$ $t_j$ $= \varnothing$) $\Leftrightarrow$ (($\exists A \in t_i$) $\Rightarrow$ ($\exists \neg A \in t_j$) $\Rightarrow$ ($A$ $=$ $1$) $\wedge$ ($\neg A$ $=$ 1) $\wedge$ ($\nexists$ х $\in$ $t_i$: $A (x)$ $=$ $0$) $\wedge$ ($\nexists$ х $\in t_j$: $\neg A (x)$ $=$ $0$))), $t_i$ $\not = $ $t_j$}.

При этом перечень теорий является таким, что мы не можем выбрать по одной какой-то формуле каждой теории и сформировать на её основе новую теорию, до этого не входившую в $T$, поскольку по условию, все теории попарно несовместны (это позволяет нам избежать применения аксиомы выбора, что защищает нас от возможных парадоксов, связанных с ней). Это необходимо постольку, поскольку мы не знаем, конечен класс $T$, или бесконечен. Поэтому сразу будем рассматривать его как бесконечный, и если он конечен, то это суждение можно упростить для конечного случая.

Для начала определимся с определениями и базовыми аксиомами, благодаря которым это рассуждение вообще возможно.

Познаваемость - полнота и непротиворечивость формальной логической теории, используя которую мы описываем какой-то объект.

Объект - какая-либо математическая структура, будь-то множество, класс, логическая формула, топологическое многообразие, и т.д.

Мощность $X$ - минимальное порядковое число $\alpha$ между которым и $X$ существует биекция.

Аксиомы:

$Ax$ $1$. Класс Т каких-то формальных, логических теорий несомненно существует, т.к. является всего лишь их совокупностью, или перечислением, например: первопорядковая логика, интуиционистская, паранепротиворечивая, модальная, нечёткая, и т.д.

$Ax$ $2$. Если объект полностью познаваем, то в рамках теории, его описывающей, невыводимы суждение и его отрицание. Иначе говоря, невозможно, чтобы одновременно были верны истина и ложь. Введём, основываясь на этом, по правилу modus tollens следующую формулу: если объект познаваем ($A$) то невыводима формула $P$ $\wedge \neg P$ (обозначим эту формулу как функцию вида $f$($P$, $\neg P$). Если формула существует, объект не познаваем (суждение $\neg A$).

Т.е.: $A$ $\Rightarrow \nexists$ $f$($P$, $\neg P$), $\exists$ $f$($P$, $\neg P$)
________________________________

$\neg A$

При этом сам класс теорий $T$ мы описываем какой-либо из теорий, т.е. через $t$ с некоторым нижним индексом $i$. Теперь построим класс $T$ и опишем его с помощью другой теории $t$ из $T$, с нижним индексом $j$, отличным от $i$. Пусть теперь класс $T$ в рамках теории $t_j$ обладает другими свойствами, отличными от перечисленных в первом абзаце. Тогда мы получим класс $T'$ $\not = T$. Дальше сделаем так же с другими теориями из $T$. Получим различные модели $T$ такие, что $T \not = T'$ $\not =$ $ T'' \not = T'''$, и т.д. (эта формула - теорема $A$ какой-то теории $t_i$, принадлежащей классу $T$). Но теперь вспомним, что существуют отличные от $t_i$ теории, утверждающие что полученные классы равны (поскольку теории отличны), т.е. $T$ = $ T' $ = $ T''$ = $ T'''$, и т.д. (эта формула - теорема теории $t_j$, которую мы для удобства обозначим как $\neg A$).

Таким образом, мы строго вывели высказывания $A$ и $\neg A$, одновременно истинные в различных теориях $t_i$ и $t_j$. Тогда в соответствии с правилом modus tollens мы получаем высказывание, что класс $T$ не познаваем. При этом выше сознательно был опущен нюанс: утверждая, что теории отличны, мы использовали теорию $t_i$. В рамках любой другой теории теории могут быть не отличны друг от друга. Тогда мы снова получим два высказывания $A$ и $\neg A$.

А поскольку мы имеем два суждения: $T$ познаваем, и $T$ не познаваем, то $T$ непознаваем. Потому что будь $T$ познаваем, формулы "$T$ познаваем и непознаваем" не существовало бы (это мы утверждаем в рамках какой-то теории $t_i$). Чтобы наше высказывание стало общезначимой теоремой, и было законным всегда, введём трансфинитную индукцию: наше утверждение, что из факта существования утверждения $B$: "из формулы, содержательно утверждающей познаваемость и непознаваемость следует непознаваемость" принадлежит какой-то теории $t_i$.

Но если существует другая теория $t_j$, утверждающая обратное, то к ним применимо наше высказывание, на этот раз принадлежащее другой теории $t_{i+1}$ с более богатым языком, и оно является истинным в теории $t_i$ с более бедным языком относительно теории $t_{i+1}$. Но тогда существует другая теория, $t_{j+1}$, отрицающая утверждение в теории $t_{i+1}$. Но опять же эта проблема разрешается в теории $t_{i+2}$. И так далее. Т.е. для всякий теории $t_{i+k}$ существует теория $t_{j+k}$, и эти теории отрицают друг друга, но для них существует теория $t_{i+k+1}$, в рамках которой утверждение из $t_{i+k}$ верно. В таком случае, утверждение из ti верно для всех теорий из $T$. Таким образом, применив теорию типов Б. Рассела, мы "поднялись в бесконечность", доказав наше суждение по индукции. Т.е. в рамках формальных логических теорий существуют непознаваемые объекты, и более того: сами эти теории обладают свойством непознаваемости.

Вспомним данное ранее определение познаваемости: это свойство полноты и непротиворечивости какой-то формальной теории. Мы доказали, что существуют непознаваемые объекты. Раскроем по законам де Моргана формулу, определяющую познаваемость, и получим формулу, описывающую непознаваемость: непознаваемость это неполнота или непротиворечивость какой-то теории.

В самом деле: если формальная теория неполна, она непротиворечива, и тогда существует некоторая невыводимая формула, и силами самой этой теории мы её не узнаем. Если формальная теория полна, она противоречива, и тогда выводимы $A$ и $\neg A$ (второй аспект непознаваемости, т.к. мы не способны будем определиться, каким же именно свойством обладает объект, содержательно описываемый этими формулами).

Поскольку разные теории по-разному описывают класс $T$, к которому они относятся, то они по-разному описывают и себя. Следовательно, объекты, которые нельзя описать, существуют в рамках самих формальных теорий. Т.е. теория $t$ описывает себя рядом предикатов $P(t)$, а другая теория описывает её другими предикатами. Поэтому мы не знаем ничего о теории $t$ по-настоящему. Но если смотрим на неё "изнутри", то никаких странностей и противоречий не наблюдаем, поскольку существование непознаваемых объектов не позволяет нам вывести их существование дедуктивно, а противоречивость некоторых теорий не позволяет сделать выводы о самом факте существования некоторых объектов. Например: какой мощностью обладает класс всех множеств $\Omega$? Определим базовое понятие. Мощность $X$ - минимальное порядковое число $\alpha$ между которым и $X$ существует биекция.

О классе всех множеств $\Omega$ можно утверждать, что он не пуст. Следовательно, он либо конечен, либо бесконечен. Множеств существует бесконечное количество, что следует из аксиомы булеана. Следовательно, класс всех множеств бесконечен. Очевидно, что мощность этого класса не изоморфна какому-то ординалу, иначе мы получим небезызвестные парадоксы Бурали-Форти или Кантора. Следовательно, мы не можем ничего сказать о размерах $\Omega$.

Философски переосмыслив результаты этого рассуждения, можно постулировать, что мы описываем наш мир при помощи некоторого набора логик. Но существуют другие логики, которые описывают мир принципиально иначе, например, интуиционистская логика, квантовая логика, паранепротиворечичая логика, многозначная логика, модальная, и т.д. Так, например, интуиционистская логика принципиально несовместима с классической первопорядковой логикой, поскольку в ней отрицается закон исключённого третьего, так важный для последней. Получается, что мир нельзя описать в рамках какой-либо одной логики, а использовать несколько логик нельзя исходя из условия, при котором они несовместны.

Следовательно, наш мир по-настоящему непознаваем.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы недооформлены $\TeX$ом

Albert Magnus
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом правильно: каждая формула и термы должны быть целиком заключены в одну пару формул. (перепроверьте то, что набрали - кириллические буквы не отображаются просто так, потому не надо их использовать вместо латиницы).
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Далее, все понятия должны быть определены, а все утверждения строго сформулированы и строго доказаны (т.е. в частности текст не должен содержать утверждения типа "мощность отрицать нельзя"). В тексте есть слова "объект", "познаваем" и т.п., используемые как понятия, но они не определены.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.