2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение13.09.2016, 19:37 


21/01/14
21
Уважаемые математики!

Мною получены некоторые интересные результаты и чтобы не стать плагиатором, хотелось бы знать авторство некоторых занимательных выводов.

Итак, внешне ничем не примечательное уравнение $ 85^4-51^4=34^5 $ имеет ближайшего родственника $ 8948802969730^8-8673455186046^8=275347783684^9 $. Это семейство имеет продолжение, назвал я его бинарные уравнения Биля, потому что их производным уравнением есть такая красивая формула: $$ a^{2}^n-b^{2}^n=(a-b)\prod^{n-1}_{i=0}\left(a^{2}^i+b^{2}^i)\right \eqno (1.1) $$
По моей классификации, это класс уравнений Биля, 4-го типа, частного случая с), что значит, это уравнение вида $ a^x-b^x=c^z $, где $ c^z $ - составное число. Простите за такую заумную классификацию, но видов уравнений Биля правда много, а любой системный подход требует точной характеристики.

Далее, получается это семейство так: берем два числа $ a=5 $, $ b=3 $ и записываем уравнение согласно (1.1) $$ 5^4-3^4=2\times272=(5-3)\times(5+3)(5^2+3^2) $$
где получим $$ 5^4-3^4=2\times2^4\cdot17 $$
и окончательно умножая уравнение на общий множитель $ 17^4 $, получим $$ 85^4-51^4=34^5 $$

Общим делителем оснований здесь есть простое число $ 17 $.

Далее, второе уравнение этого семейства получается так: берем два числа $ a=65 $, $ b=63 $ и записываем уравнение согласно (1.1)
$$ 65^8-63^8=2\times35244516311552=(65-63)\times(65+63)(65^2+63^2)(65^4+63^4) $$

где получим $$ 65^8-63^8=2\times2^8\cdot137673891842 $$
и окончательно умножая уравнение на общий множитель $ 137673891842^8 $, получим $$ 8948802969730^8-8673455186046^8=275347783684^9 $$
Общим делителем оснований здесь есть натуральное число $ 137673891842 $.

Остальные уравнения этого семейства получаются по такому же алгоритму. Искать далее не я стал, слишком большое основание будет, разрядов на калькуляторе не хватит.

Что знает современная математика об этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение13.09.2016, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4299
Это не уравнения. Это равенства. Уравнение — это нечто другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение13.09.2016, 21:42 
Аватара пользователя


11/08/11
929
Берем любые натуральные $a,b,n, a>b$, берем $c=a^n-b^n$. Сделав оччень умное лицо, смело пишем равенство $(ac)^n-(bc)^n=c^{n+1}$. Потом берем какие-нибудь другие числа, получаем еще одно сногсшибательное равенство. Повторяем $100500$ раз, пока не надоест.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение13.09.2016, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20513
Уфа
Пользуясь случаем, передаю привет своим многочисленным родственникам напомню, что в современном литературном русском языке глагол быть в настоящем времени не управляет творительным падежом, так что либо общим делителем является (или, скажем, будет), либо общий делитель есть, но никак не
discoverer в сообщении #1150975 писал(а):
Общим делителем оснований здесь есть <…> число <…>

Никак не могу пройти мимо корреляции этой речевой особенности авторов с тем, насколько они близки к ерунде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение14.09.2016, 01:17 


19/05/10
3900
Россия
discoverer, все что вы написали идейно, конечно, верно (вычисления не проверял), но уж совсем простенько. Немного дальше школьной программы. Попробуйте, наряду с собственными изысканиями проверить свои силы решая задачки элементарной теории чисел. P.S. А красивая формула (1.1) (там опечатки) была наверняка известна Виету, если не раньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение14.09.2016, 02:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6980
Hogtown
INGELRII в сообщении #1151006 писал(а):
Повторяем $100500$ раз, пока не надоест.
Вы забыли самое главное: спросить
discoverer в сообщении #1150975 писал(а):
Что знает современная математика об этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение14.09.2016, 23:32 


21/01/14
21
Любопытно, существует какой-либо критерий интереса тех или иных выводов для науки? Предположу, что первый – это из чьих уст это звучит. Второй критерий - юзание темы. Интересно теорему Ферма юзали более 100500 раз?

Если не возражаете, продолжу. Я намеренно не привожу теорию, потому что читать ее все равно никто не будет. Причина – критерий 1. Только реальные примеры, нет ничего лучше результатов.

Приведу еще один интересный случай. Как вероятно известно, существует большой класс уравнений вида $ a^x-b^x=c^z $, где $ z>x $ и где основание $ c $, не является общим делителем для $ a $ и $ b $. А это значит, что в этом случае основанием $ c $ есть составное число, пусть это будет $ d\cdot e=c $. И вот здесь доминирующим делителем этого класса выступает второе число $ e $.

Вопрос: почему он доминирует и почему он всегда нечетный и преимущественно простой?
Представьте, что старшеклассник-сын спросит вас о этом? Что вы ему скажете? Это банально, тривиально, недоюзали еще или это есть где-то у Виета?

Однако природа чисел удивительно разнообразна, поэтому в правиле этого класса существуют исключения.
Итак, внешне ничем не примечательное уравнение $$ 897^3-368^3=161^4 \eqno (1.2) $$
является исключением из этого правила, потому что его производящим уравнением есть $$ 39^3-16^3=23\times(7^2)^2=(39-16)\times(1+2400) \eqno (1.3) $$
где общим множителем служит первое число $ d=23 $. Почему спросите вы? Потому что производящая формула этого уравнения имеет вид $$ a^3-b^3=d\times(e^2)^2=(a-b)\times\left(1+6\sum^{a-1}_{j=b}\frac{k^{(2)}_j}{(a-b)}\right) $$
где формула числа $ e=\left(1+6\sum^{a-1}_{j=b}\frac{k^{(2)}_j}{(a-b)}\right) $ обладает структурным подобием формуле $ 1+2\left(k^{(2)}_{n-1}+\frac{n-1}{2}\right) $ хотя и не таким явным, как показано в теме: topic108159.html, второй абзац после (3.5), но все же подобный механизм работает и здесь, то есть она способна генерировать степени числа. Действительно, для $ a=39 $ и $ b=16 $ получим $ e=(7^2)^2 $. И тогда умножая (1.3) на $ 23^3 $ получим (1.2).
Но это еще не все, это также системное уравнение, как бинарное Биля, потому что его ближайшим родственником есть $$ 609^3-434^3=35^5 $$
где производящим уравнением выступает $$ 87^3-62^3=5^2\times7^5=(87-62)\times(1+16806) $$
Как видно, здесь та же мистическая 7 и множителем служит первое число $ d $, поэтому я назвал это семейство проблемой Фантома, так как полная картина этого случая еще не изучена.

Ваши комментарии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение14.09.2016, 23:43 
Аватара пользователя


11/06/12
7456
Минск
discoverer в сообщении #1151229 писал(а):
уравнение
discoverer в сообщении #1151229 писал(а):
его производящим уравнением есть
Вы дважды проигнорировали содержательные замечания участников. Какие именно, не скажу :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение14.09.2016, 23:52 


19/05/10
3900
Россия
discoverer в сообщении #1151229 писал(а):
...Ваши комментарии?
Вы, извините, глухой? Общаться то собираетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение15.09.2016, 09:46 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
discoverer в сообщении #1151229 писал(а):
Ваши комментарии?

Просьба максимально сжато, но исчерпывающе, сформулировать проблему, которой посвящен этот топик. Как можно больше проблем охватывать не надо. Начните с чего-то одного.

Например, по первому посту. Как я Вас понимаю. Вы написали, что придумали метод, которым можно составлять наборы чисел, удовлетворяющих уравнению Била с набором показателей $(n, n+1, n)$. Вы не написали, почему этот метод представляет какой-то интерес. Интерес был бы (опять же по моим понятиям, пусть меня поправят, если что), если бы Вы 1) обосновали отсутствие взаимно простых решений в этом случае, 2) наличие взамино простых решений, 3) привели полное, исчерпывающее решение для этого случая, то есть указав все тройки $(a,b,c)$ и показав, что других не существует. Угадывание какого-то одного решения большого интереса не представляет по причинам, указанным INGELRII здесь: post1151006.html#p1151006. Надо заметить, что указанный им набор гораздо более обширен.

Поскольку Вы на эту реплику никак не отреагировали, а отправились куда-то своей дорогой - не сказав, куда, - имеет смысл затормозить и обозначить, о чем Вы вообще собираетесь вести речь. Ибо непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение15.09.2016, 22:11 


21/01/14
21
Цитата:
Поскольку Вы на эту реплику никак не отреагировали, а отправились куда-то своей дорогой - не сказав, куда, - имеет смысл затормозить и обозначить, о чем Вы вообще собираетесь вести речь. Ибо непонятно.


Ок, спасибо, что вмешались и направляете топик в адекватный диалог. Начну по порядку отвечать на вопросы. Посмотрим, что из этого выйдет.

-- 15.09.2016, 22:13 --

Цитата:
Это не уравнения. Это равенства. Уравнение — это нечто другое.


Я открываю Гугл и ищу что такое уравнения и равенства. Получаю ответ «Уравнение – равенство.…», источник – Википедия.
Источник авторитетный. Я пользуюсь. Но равенства – так равенства. Ок.

-- 15.09.2016, 22:14 --

Цитата:
Берем любые натуральные $a,b,n, a>b$, берем $c=a^n-b^n$. Сделав оччень умное лицо, смело пишем равенство $(ac)^n-(bc)^n=c^{n+1}$. Потом берем какие-нибудь другие числа, получаем еще одно сногсшибательное равенство. Повторяем $100500$ раз, пока не надоест.


Вообще не понятно, о чем ведете речь. Здесь нет таких равенств.

-- 15.09.2016, 22:16 --

arseniiv в сообщении #1151009 писал(а):
Пользуясь случаем, передаю привет своим многочисленным родственникам напомню, что в современном литературном русском языке глагол быть в настоящем времени не управляет творительным падежом, так что либо общим делителем является (или, скажем, будет), либо общий делитель есть, но никак не
discoverer в сообщении #1150975 писал(а):
Общим делителем оснований здесь есть <…> число <…>

Никак не могу пройти мимо корреляции этой речевой особенности авторов с тем, насколько они близки к ерунде.


Мой топик не о речевых особенностях, а о какой ерунде вы ведете речь, я не понимаю. Ткните пальцем в ерунду.

-- 15.09.2016, 22:18 --

mihailm в сообщении #1151038 писал(а):
discoverer, все что вы написали идейно, конечно, верно (вычисления не проверял), но уж совсем простенько. Немного дальше школьной программы. Попробуйте, наряду с собственными изысканиями проверить свои силы решая задачки элементарной теории чисел. P.S. А красивая формула (1.1) (там опечатки) была наверняка известна Виету, если не раньше.


Укажите пожалуйста где есть опечатка и что известно Виету - ссылка на источник.
Уверен, школьникам это будет интересно. И не только. Для этого я работаю. Спасибо, мне не интересны задачки элементарной теории чисел, я профессионально работаю с данными равенствами/уравнениями. Я размотал этот клубок, разработал теорию, получил много интересных результатов, которые проверяю здесь. Можете присылать любые, я раскрою с подробностями.

-- 15.09.2016, 22:22 --

Aritaborian в сообщении #1151232 писал(а):
Вы дважды проигнорировали содержательные замечания участников. Какие именно, не скажу :mrgreen:


Уже исправился, спасибо.

-- 15.09.2016, 22:23 --

mihailm в сообщении #1151237 писал(а):
Вы, извините, глухой? Общаться то собираетесь?


Уже общаюсь. Мало свободного времени просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение15.09.2016, 22:48 
Аватара пользователя


11/06/12
7456
Минск
discoverer в сообщении #1151455 писал(а):
источник – Википедия. Источник авторитетный.
Википедия — вообще не источник. По определению. Зла на вас не хватает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение15.09.2016, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4299
discoverer в сообщении #1151455 писал(а):
Получаю ответ «Уравнение – равенство.…»
Ну, даже не вдаваясь в детали, отсюда можно сделать вывод, что уравнение - это равенство, но не всякое равенство - уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение16.09.2016, 10:58 
Аватара пользователя


11/08/11
929
discoverer в сообщении #1151455 писал(а):
Вообще не понятно, о чем ведете речь. Здесь нет таких равенств.

Речь ведется о том, что есть метод, позволяющий абсолютно без усилий получить сколько угодно нужных вам равенств. И приведен сам метод. Он тривиален. Если вы считаете, что ваши решения гораздо круче тех, которые можно получить этим тривиальным методом, то прошу в явном виде выписать этот самый критерий крутизны решений, и если получится, что ваши решения и впрямь круты, можно будет говорить о них дальше. Иначе просто отсутствует предмет для разговора.

Кстати, чтобы не отвлекаться на холивар "уравнения-равенства", можно просто говорить об уравнении Биля и его решениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что известно математике об уравнении 85^4-51^4=34^5
Сообщение16.09.2016, 11:03 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 !  discoverer
Еще раз:
Lia в сообщении #1151277 писал(а):
Просьба максимально сжато, но исчерпывающе, сформулировать проблему, которой посвящен этот топик.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group