2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ТФКП вычислить интеграл
Сообщение09.08.2016, 21:24 


11/10/15
38
Не очень понял тему, но попробовал решить (с помощью вычетов), и вот что получил.
Подскажите так или не так решать, думаю вообще ни чего не правильно.

Вычислить интеграл, если контур обходить против часовой стрелки.

$$\oint\limits_{\left\lvert z \right\rvert  = 99} \frac{z^ 2 +1}{(z^2 - 100)(z+100)} dz $$

Далее получаем точки: $$ z= -100; -10; 10,  $$ т.к. $\left\lvert z \right\rvert < 99$ , то будет только одна точка $ z=10 $.

$$\lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z^2 - 100)(z+100)} = \frac{101}{0} =  \infty   $$ - полюс

$$ \operatorname{Res}[f(z); 10]= \lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z-10)(z+10)(z+100)}(z-10) = \lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z+10)(z+100)} = \frac{101}{2200}   $$

$$ \operatorname{Res}=  2\pi i \sum\limits_{k=1}^{1}   \operatorname{Res} [f(z); a_k] = 2\pi i \frac{101}{2200} = \frac{101 \pi i}{1100} $$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.08.2016, 21:36 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Оформите все формулы.
Звездочку не надо использовать вместо знака умножения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.08.2016, 23:02 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП вычислить интеграл
Сообщение10.08.2016, 05:45 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
AiG в сообщении #1143004 писал(а):
$$\lim\limits_{z\to10}^{} \frac{z^ 2 +1}{(z^2 - 100)(z+100)} = \frac{101}{0} =  \infty   $$

Ну, вообще говоря, могло получиться так, что полюс не простой, тогда вычет по-другому бы вычислялся. Но тут и на глаз видно, что простой.
Вычет для $z=10$ вычислен верно. А вот для второй точки внутри круга совсем не вычислен - потеряли вы её, ищите.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП вычислить интеграл
Сообщение10.08.2016, 09:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
AiG в сообщении #1143004 писал(а):

$$ \operatorname{Res}=  2\pi i \sum\limits_{k=1}^{1}   \operatorname{Res} [f(z); a_k] = 2\pi i \frac{101}{2200} = \frac{101 \pi i}{1100} $$

В левой части данной формулы должен искомый интеграл стоять. И в сумме вычет во втором полюсе должен быть, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП вычислить интеграл
Сообщение10.08.2016, 12:30 


11/10/15
38
NSKuber в сообщении #1143058 писал(а):
А вот для второй точки внутри круга совсем не вычислен - потеряли вы её, ищите.


Вторая точка $\left\lvert z \right\rvert =-10 $

$$\lim\limits_{ z  \to-10}^{} \frac{z^2 +1 }{(z^2 -100)(z+100)} = \frac{101}{0} = \infty$$ - полюс

$$ \operatorname{Res}= \lim\limits_{ z  \to-10}^{} \frac{z^2 +1 }{(z-10)(z+10)(z+100)} (z+10) =  \lim\limits_{ z  \to-10}^{} \frac{z^2 +1 }{(z-10)(z+100)}  =  - \frac{101}{1800}$$

Имея две точки получаем:

$$\int\limits_{\left\lvert z \right\rvert =99 }^{}  \frac{z^2 +1 }{(z^2 -100)(z+100)} dz = 2\pi i  \sum\limits_{k=1}^{2} \operatorname{Res} [f(z); a_k] =  2\pi i  (\frac{101}{2200} - \frac{101}{1800}) = - \pi i \frac{202}{9900}  $$

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП вычислить интеграл
Сообщение10.08.2016, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
AiG в сообщении #1143093 писал(а):
Вторая точка $\left\lvert z \right\rvert =-10 $

ну, не модуль же

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП вычислить интеграл
Сообщение10.08.2016, 12:47 


11/10/15
38
alcoholist в сообщении #1143095 писал(а):
ну, не модуль же


да, да, проглядел,
остальное все так?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП вычислить интеграл
Сообщение10.08.2016, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
AiG в сообщении #1143093 писал(а):
Так?

похоже

-- Ср авг 10, 2016 12:52:40 --

Для собственной уверенности вычислите вычет в $z=-100$ и в точке $z=\infty$.
Сумма всех вычетов должна быть нулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП вычислить интеграл
Сообщение10.08.2016, 13:20 


11/10/15
38
Спасибо, все вышло

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group