2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом
Сообщение16.05.2017, 17:03 


23/02/12
1515
Итак рассмотрим асимптотическую оценку количества целых решений для диагонального алгебраического диофантова уравнения $n$-ой степени (309) от $k$ переменных:
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}^n+2a_kx_k=0$.

При $n=2$ уравнение (309) соответствует параболоиду.
В случае, если коэффициенты: $a_1>0,...,a_{k-1}>0, a_k<0$, то уравнение (309) соответствует эллиптическому параболоиду.
В случае, если коэффициенты: $a_i,(i=1,...,k-1)$ имеют разные знаки, то уравнение (309) соответствует гиперболическому параболоиду.

Ранее было показано (155), что уравнение Туэ $n$ -ого порядка ($n$-четно) от $k$ переменных:
$a_1x_1^n+...+a_{k}x_{k}^n+a_0=0$ (335)

имеет следующую верхнюю асимптотическую оценку количества целых решений в гиперкубе со стороной $[-N.N]$:
$R_k(N)<<N^{k-m+\epsilon}$,

где $m$ - количество членов уравнения (335), для которых $a_i>0,(i=1,...,k)$.

Обратим внимание, что уравнение (309) при фиксированном значении $x_k$ является уравнением Туэ $n$ -ого порядка ($n$-четно) от $k-1$ переменных, поэтому для количества его целых решений справедлива следующая асимптотическая оценка сверху:
$R_{k-1}(N)<<N^{k-1-m+\epsilon}$. (336)

Учитывая оценку (336) и то, что $x_k$ принимает $2N+1$ целых значений на интервале $[-N.N]$, мы получаем следующую асимптотическую оценку сверху количества целых решений уравнения (309) при четном значении $n$:
$R_k(N)<O(N^{k-1-m+\epsilon}) \cdot O(N)=O(N^{k-m+\epsilon})$, или
$R_k(N)<<N^{k-m+\epsilon}$. (337)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом
Сообщение19.05.2017, 16:37 


23/02/12
1515
Известно, что количество целых решений алгебраического диофантова уравнения (не обязательно диагонального) $n$-ого порядка от $k$- переменных в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ имеет следующую оценку сверху:
$R_k(N)<<N^{k-1+\epsilon}}$,(338)
где $\epsilon$ - сколь угодно малое положительное число.

Также известна формула Pila для неприводимого алгебраического диофантова уравнения (не обязательно диагонального) порядка $n(n>2)$ от $k$- переменных $k>2$ для количества целых решений в гиперкубе со стороной $[-N,N]$:
$R_k(N)<<N^{k-2+\epsilon+1/n}$. (339)

Теперь дадим оценку сверху количества целых решений диагонального диофантова уравнения Туэ порядка $n(n>2)$ (нечетное) от $k$- переменных $k>2$:
$a_1x_1^n+...+a_kx_k+a_0=0$, (340)
где все коэффициенты - целые, отличные от $0$.

При $k=2$ получаем уравнение Туэ от двух переменных, которое имеет конечное число решений при $n>2$, т.е.:
$R_2(N)=O(1)$. (341)

Предполагая, что все остальные переменные в уравнении (340) принимают целые значения на отрезке $[-N,N]$, на основании (341), мы получаем:
$R_k(N) \leq O(1) \cdot O(N^{k-2})=O(N^{k-2})$ или $R_k(N)<<N^{k-2+\epsilon}$. (342)

Обратим внимание, что оценка (342) более точная, чем (339).

Теперь рассмотрим диагональное алгебраическое диофантово уравнение порядка $n(n>2)$ (нечетное) от $k$- переменных $k>2$:
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}+2a_kx_k=0$. (343)

При фиксированном значении $x_k$ получаем уравнение Туэ $k-1$ порядка. Для данного уравнения выполняется оценка (342):
$R_{k-1}<< N^{k-3+\epsilon}$. (344)

Если $x_k$ будет принимать целые значения на отрезке $[-N,N]$, то на основании (344), мы получим оценку сверху для количества целых решений уравнения (343):
$R_k(N) <<N^{k-2+\epsilon}$. (345)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом
Сообщение22.05.2017, 17:19 


23/02/12
1515
Уточню вид уравнений в последнем сообщении:
$a_1x_1^n+...+a_kx_k^n+a_0=0$. (340)
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}^n+2a_kx_k=0$. (343)

Можно получить более лучшую оценку сверху количества целых решений диофантовых уравнений (340) и (343).

Если все коэффициенты $a_i>0(i=0,...,k)$ и $x_i>0(i=1,...,k)$, то диофантово уравнение (340) не имеет решений в целых числах.
Если $a_i>0(i=1,...,k)$ и $x_i>0(i=1,...,k)$, а $a_0<0$, то уравнение (340) имеет конечное число решений в целых числах.
Таким образом, в обоих рассмотренных случаях, уравнение (340) имеет $O(1)=O(N^0)$ решений в целых числах.

Если больше половины значений переменных $x_i<0$ в уравнении (340), то заменим данное уравнение на уравнение:
$-(a_1x_1^n+...+a_kx_k^n+a_0)=0$, (346)
у которого больше половины переменных имеют неотрицательные значения.

Таким образом, количество целых решений уравнения (340) не превышает $O(N^{k/2})$.

Следовательно количество целых решений уравнения (340), в зависимости от соотношения значений переменных $x_i$, принимает значения от $O(N^0)$ до $O(N^{k/2})$.

Таким образом, справедлива следующая верхняя оценка для количества целых решений уравнения (340):
$R_k(N) <<N^{k/2+\epsilon}$. (347)

Аналогичная (347) оценка сверху справедлива для количества целых решений уравнения (343).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом
Сообщение23.05.2017, 16:53 


23/02/12
1515
Формула (347) справедлива при четных значениях $k$.

При нечетных значениях $k$ справедлива формула:
$R_k(N)<< N^{[k/2]+1+\epsilon}$. (348)

Формула (347) точнее формул (342) и (345) при $k \geq 6$, а формула (348) точнее (342) и (345) при $k \geq 7$.

При меньших значениях $k$ надо использовать формулы (342) и (345).

Например, рассмотрим следующее диофантово уравнения Туэ:
$x_1^3+x_2^3+x_3^3-1=0$. (349)

В данном случае значение $k=3$, поэтому на основании (342) получим следующую оценку сверху количества целых решений уравнения (349):
$R_3(N) << N^{1+\epsilon}$. (350)

Это совпадает с оценкой сверху количества целых решений уравнения (349), сделанных на основании работы D.R. Heath-Brown "Sums and Differences of Three k-th Powers".

Покажем, что улучшить оценку (350) нельзя.

Представим уравнение (349) в виде: $f=f_1+f_2$, где $f_1=x_1^3+x_2^3=0$ и $f_2=x_3^3-1=0$. Однородное уравнение $f_1=0$ имеет только целые решения, находящиеся на прямой $x_1+x_2=0$, т.е. имеет в квадрате со стороной $[-N,N]$ - $O(N)$ целых решений. Уравнение $f_2=0$ имеет только одно целое решение $x_3=1$. Поэтому уравнение (349) имеет следующую оценку снизу количества целых решений в кубе со стороной $[-N,N]$: $R_3(N) \geq O(N)$. (351) Сравни с оценкой сверху (350).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group