Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом

[vicvolf]

Итак рассмотрим асимптотическую оценку количества целых решений для диагонального алгебраического диофантова уравнения $n$-ой степени (309) от $k$ переменных:
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}^n+2a_kx_k=0$.

При $n=2$ уравнение (309) соответствует параболоиду.
В случае, если коэффициенты: $a_1>0,...,a_{k-1}>0, a_k<0$, то уравнение (309) соответствует эллиптическому параболоиду.
В случае, если коэффициенты: $a_i,(i=1,...,k-1)$ имеют разные знаки, то уравнение (309) соответствует гиперболическому параболоиду.

Ранее было показано (155), что уравнение Туэ $n$ -ого порядка ($n$-четно) от $k$ переменных:
$a_1x_1^n+...+a_{k}x_{k}^n+a_0=0$ (335)

имеет следующую верхнюю асимптотическую оценку количества целых решений в гиперкубе со стороной $[-N.N]$:
$R_k(N)<<N^{k-m+\epsilon}$,

где $m$ - количество членов уравнения (335), для которых $a_i>0,(i=1,...,k)$.

Обратим внимание, что уравнение (309) при фиксированном значении $x_k$ является уравнением Туэ $n$ -ого порядка ($n$-четно) от $k-1$ переменных, поэтому для количества его целых решений справедлива следующая асимптотическая оценка сверху:
$R_{k-1}(N)<<N^{k-1-m+\epsilon}$. (336)

Учитывая оценку (336) и то, что $x_k$ принимает $2N+1$ целых значений на интервале $[-N.N]$, мы получаем следующую асимптотическую оценку сверху количества целых решений уравнения (309) при четном значении $n$:
$R_k(N)<O(N^{k-1-m+\epsilon}) \cdot O(N)=O(N^{k-m+\epsilon})$, или
$R_k(N)<<N^{k-m+\epsilon}$. (337)

[vicvolf]

Известно, что количество целых решений алгебраического диофантова уравнения (не обязательно диагонального) $n$-ого порядка от $k$- переменных в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ имеет следующую оценку сверху:
$R_k(N)<<N^{k-1+\epsilon}}$,(338)
где $\epsilon$ - сколь угодно малое положительное число.

Также известна формула Pila для неприводимого алгебраического диофантова уравнения (не обязательно диагонального) порядка $n(n>2)$ от $k$- переменных $k>2$ для количества целых решений в гиперкубе со стороной $[-N,N]$:
$R_k(N)<<N^{k-2+\epsilon+1/n}$. (339)

Теперь дадим оценку сверху количества целых решений диагонального диофантова уравнения Туэ порядка $n(n>2)$ (нечетное) от $k$- переменных $k>2$:
$a_1x_1^n+...+a_kx_k+a_0=0$, (340)
где все коэффициенты - целые, отличные от $0$.

При $k=2$ получаем уравнение Туэ от двух переменных, которое имеет конечное число решений при $n>2$, т.е.:
$R_2(N)=O(1)$. (341)

Предполагая, что все остальные переменные в уравнении (340) принимают целые значения на отрезке $[-N,N]$, на основании (341), мы получаем:
$R_k(N) \leq O(1) \cdot O(N^{k-2})=O(N^{k-2})$ или $R_k(N)<<N^{k-2+\epsilon}$. (342)

Обратим внимание, что оценка (342) более точная, чем (339).

Теперь рассмотрим диагональное алгебраическое диофантово уравнение порядка $n(n>2)$ (нечетное) от $k$- переменных $k>2$:
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}+2a_kx_k=0$. (343)

При фиксированном значении $x_k$ получаем уравнение Туэ $k-1$ порядка. Для данного уравнения выполняется оценка (342):
$R_{k-1}<< N^{k-3+\epsilon}$. (344)

Если $x_k$ будет принимать целые значения на отрезке $[-N,N]$, то на основании (344), мы получим оценку сверху для количества целых решений уравнения (343):
$R_k(N) <<N^{k-2+\epsilon}$. (345)

[vicvolf]

Уточню вид уравнений в последнем сообщении:
$a_1x_1^n+...+a_kx_k^n+a_0=0$. (340)
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}^n+2a_kx_k=0$. (343)

Можно получить более лучшую оценку сверху количества целых решений диофантовых уравнений (340) и (343).

Если все коэффициенты $a_i>0(i=0,...,k)$ и $x_i>0(i=1,...,k)$, то диофантово уравнение (340) не имеет решений в целых числах.
Если $a_i>0(i=1,...,k)$ и $x_i>0(i=1,...,k)$, а $a_0<0$, то уравнение (340) имеет конечное число решений в целых числах.
Таким образом, в обоих рассмотренных случаях, уравнение (340) имеет $O(1)=O(N^0)$ решений в целых числах.

Если больше половины значений переменных $x_i<0$ в уравнении (340), то заменим данное уравнение на уравнение:
$-(a_1x_1^n+...+a_kx_k^n+a_0)=0$, (346)
у которого больше половины переменных имеют неотрицательные значения.

Таким образом, количество целых решений уравнения (340) не превышает $O(N^{k/2})$.

Следовательно количество целых решений уравнения (340), в зависимости от соотношения значений переменных $x_i$, принимает значения от $O(N^0)$ до $O(N^{k/2})$.

Таким образом, справедлива следующая верхняя оценка для количества целых решений уравнения (340):
$R_k(N) <<N^{k/2+\epsilon}$. (347)

Аналогичная (347) оценка сверху справедлива для количества целых решений уравнения (343).

[vicvolf]

Формула (347) справедлива при четных значениях $k$.

При нечетных значениях $k$ справедлива формула:
$R_k(N)<< N^{[k/2]+1+\epsilon}$. (348)

Формула (347) точнее формул (342) и (345) при $k \geq 6$, а формула (348) точнее (342) и (345) при $k \geq 7$.

При меньших значениях $k$ надо использовать формулы (342) и (345).

Например, рассмотрим следующее диофантово уравнения Туэ:
$x_1^3+x_2^3+x_3^3-1=0$. (349)

В данном случае значение $k=3$, поэтому на основании (342) получим следующую оценку сверху количества целых решений уравнения (349):
$R_3(N) << N^{1+\epsilon}$. (350)

Это совпадает с оценкой сверху количества целых решений уравнения (349), сделанных на основании работы D.R. Heath-Brown "Sums and Differences of Three k-th Powers".

Покажем, что улучшить оценку (350) нельзя.

Представим уравнение (349) в виде: $f=f_1+f_2$, где $f_1=x_1^3+x_2^3=0$ и $f_2=x_3^3-1=0$. Однородное уравнение $f_1=0$ имеет только целые решения, находящиеся на прямой $x_1+x_2=0$, т.е. имеет в квадрате со стороной $[-N,N]$ - $O(N)$ целых решений. Уравнение $f_2=0$ имеет только одно целое решение $x_3=1$. Поэтому уравнение (349) имеет следующую оценку снизу количества целых решений в кубе со стороной $[-N,N]$: $R_3(N) \geq O(N)$. (351) Сравни с оценкой сверху (350).