schoolboyДавайте доразбираем приведённый Вами пример (простой и хороший) до конца (только у меня опять цейтнот, увы; поэтому пишу кратко). Чтобы не возиться с числами "1/2", пусть речь идёт о знаках проекций спина. Т.е. пусть
это делённая на 1/2 проекция спина электрона на ось 1, измеряемая наблюдателем 1; она принимает значения
или
Аналогично:
со значениями
или
характеризует проекцию спина второго электрона на ось 2, измеряемую наблюдателем 2.
1) Легко вычислить по правилам КМ (упражнение), что среднее значение произведения
есть
,
где
- угол между осями 1 и 2. Достаточно рассматривать значения этого угла от
до
Спрашивается, а что такого "квантово запутанного" есть в этом ответе? Ведь в данном примере - с синглетным спиновым состоянием пары электронов - источник каждый раз испускает пару электронов
с равной нулю суммарной проекцией спина на одну и ту же ось.
Очевидно, уже сам этот закон сохранения должен привести к жёсткой корреляции измеряемых проекций спина на одну и ту же ось: при
наблюдатели в каждом измерении с достоверностью будут получать
поскольку вследствие заведомо нулевой суммарной проекции спина должно быть
Этот факт не зависит от выбора направления оси, пока она единая для обоих наблюдателей. Так что, при
(а Вы, имхо, только на этот случай и нацеливаете внимание) с очевидностью имеем:
Аналогично, по той же причине при
с очевидностью имеем:
Оба этих ответа даёт и формула
так что "квантовость" здесь ещё не проявляется, а проявляется только закон сохранения суммарной проекции спина. Следовательно, весь интерес-то для нас будет только в случаях, когда оси наблюдателей 1 и 2 составляют угол
отличный от
и
2) Поэтому для сравнения рассмотрим какую-нибудь
классическую модель с таким же законом сохранения суммарного момента импульса. Пусть вместо электронов источник каждый раз испускает пару классических волчков, вращающихся в противоположные стороны вокруг одной оси. Пусть её направление каждый раз случайное, с равномерным распределением вероятности в полном телесном угле
Детекторы же пусть работают так. Направлению детектора 1 соответствуют две полусферы с телесными углами по
каждая: одна окружает положительную полуось 1, а другая отрицательную; плоскость, разделяющая полусферы, перпендикулярна к оси 1. Если направление оси вращения волчка попало попало в положительную полусферу детектора, то детектор выдаст
а если в отрицательную, то
Короче говоря, всё просто: если проекция оси вращения волчка на ось детектора 1 положительная, то
а если в отрицательная, то
О полусферах речь ради наглядности: чтобы было ясно, что вероятность для оси волчка оказаться в телесном угле
равна
и что вероятностью волчка быть перепендикулярным к оси детектора можно пренебречь как мерой нуль. Для второго детектора всё аналогично.
В этой простой модели при изменении угла между осями детекторов от
до
легко вычислить (упражнение), что:
.
Как видим, при угле
между детекторами, равном
или
в классической модели получаются те же значения коррелятора -1 и +1, как и в квантовой механике; и объясняется это тривиальным образом - тем, что эта корреляция порождена ещё в источнике: условием нулевого суммарного момента импульса испускаемых частиц .
"Kвантовая запутанность" в данном примере проявляется только в том, что квантовый коррелятор зависит от угла между детекторами как
т.е.
не так, как в классической модели. Вот из этого косинуса далее уже можно вывести более выразительные следствия: нарушение неравенств, выполняющихся в классической модели (упражнение).
В упомянутой выше классической модели скрытыми параметрами являются сами векторы момента импульса волчков: они существуют у волчков сразу же после акта испускания волчков источником. У квантовых же электронов направление спина до измерения не просто не известно наблюдателю, а вообще не может быть введено в теорию; электрон характеризуются только средним по ансамблю вектором спина, но никак не индивидуальным вектором спина. Это отличие от волчка и ведёт к квантовой специфике корреляционных функций для электронов сверх той, что следует просто из законов сохранения.
(P.S. наверное на форуме всё это уже где-то было. Если так, то прошу извинить, поленился провести "поиск".)