Найти предел.

[melnikoff]

Найти предел $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x-7}{x+1}\right)^{4x-2}$.
Как я понимаю, его нужно свести ко 2-у замечательному пределу: $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.$
$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x-7}{x+1}\right)^{4x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{x+1}{8}}\right)^{\frac{x+1}{8}\cdot 32-6}=$...
Я в правильном направлении? Как быть с минусом в скобках? Там же должен быть плюс.

[nnosipov]

melnikoff в сообщении #995024 писал(а):

Как быть с минусом в скобках?

Исходную дробь переверните, и будет Вам плюс.

[gris]

Поставьте плюс, который минус на минус. Но показатель лучше преобразовывать не так. Надо получить выражение именно для второго зам. предела. Кстати, в нём просто бесконечность, а не только плюс.
Ой, прозевал уважаемого предыдущего оратора Но тем не менее, решусь его даже и уточнить: дробь нужно переворачивать не по горизонтали, а по вертикали с поправлением показателя .

[melnikoff]

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x-7}{x+1}\right)^{4x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{x+1}{8}}\right)^{\frac{x+1}{8}\cdot 32-6}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{\frac{x+1}{8}}\right)^{-\frac{x+1}{8}\cdot 32}\left(1-\frac{1}{\frac{x+1}{8}}\right)^6}=\lim\limits_{t\rightarrow-\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t\cdot 32}\left(1+\frac{1}{t}\right)^6}=\frac{1}{e^{32}}=e^{-32}.$
Правильно?

[nnosipov]

Видимо, да.

[gris]

Правильно, только уж очень страшно. Обычно делают так:

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x-7}{x+1}\right)^{4x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{-1}{\frac{x+1}{8}}\right)^{\frac{x+1}{-8}\cdot \frac {-8}{x+1}\cdot (4x-2)}=\exp\left(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{\frac{-32x+16}{x+1}}\right)=e^{-32}.$