Контрольная по теории вероятности, проверьте пожалуйста

[makc59]

1. Случайные события.
В коробке находятся 7 синих, 5 красных и 5 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 13 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет 6 синих и 3 красных.
Решение:
Всего: 7 синих, 5 красных, 5 зеленых, Итого 17
6 синих, 3 красных, 4 зеленых, Итого 13

Всего 17 карандашей. Так как вынимают 13 карандашей и нужно найти вероятность того, что шесть из них - синие и три - красные, то оставшиеся 4 - зелeные.
Число способов, которыми можно из семи синих выбрать шесть

$\[C_7^6 = \frac{{7!}}{{6!(7 - 6)!}} = \frac{{5040}}{{720}} = 7\]$

Число способов, которыми можно из пяти красных выбрать три

$\[C_5^3 = \frac{{5!}}{{3!(5 - 3)!}} = \frac{{120}}{{12}} = 10\]$

Число способов, которыми можно из пяти зеленых выбрать четыре

$\[C_5^4 = \frac{{5!}}{{4!(5 - 4)!}} = \frac{{120}}{{24}} = 5\]$

Число способов, которыми можно вынуть желанные 13 карандашей (6 синих, 3 красных, 4 зеленых) из коробки

$\[M = C_7^6 \cdot C_5^3 \cdot C_5^4 \cdot = 7 \cdot 10 \cdot 5 = 350\]$

(благоприятные исходы)
Число способов, которыми из коробки можно вытащить 13 карандашей

$\[N = C_{17}^{13} = \frac{{17!}}{{13!(17 - 13)!}} = \frac{{14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}} = 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 17 = 2380\]$

Искомая вероятность, по определению - это отношение числа способов, которыми можно вынуть желанные 13 карандашей (6 синих, 3красных, 4 зеленых) к числу способов, которыми из коробки можно вытащить 13 карандашей.

$\[P = \frac{M}{N} = \frac{{350}}{{2380}} = 0,14(705882)\]$

2. В первой урне находятся 7 шаров белого и 2 шара черного цвета, во второй — 7 белого и 5 синего, в третьей — 5 белого и 6 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
Вероятность из первой урны вытащить белый шар

$\[{P_1} = \frac{7}{9}\]$

Вероятность из первой урны не вытащить белый шар
$\[{\overline P _1} = \frac{2}{9}\]$

Вероятность из второй урны вытащить белый шар

$\[{P_2} = \frac{7}{{12}}\]$

Вероятность из второй урны не вытащить белый шар

$\[{\overline P _2} = \frac{5}{{12}}\]$

Вероятность того, что в третьей урне будет пять белых шаров

$\[{P_5} = \overline {{P_1}} \cdot {\overline P _2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{{12}} = \frac{{10}}{{108}}\]$

Вероятность того, что в третьей урне будет семь белых шаров

$\[{P_7} = {P_1} \cdot {P_2} = \frac{7}{9} \cdot \frac{7}{{12}} = \frac{{49}}{{108}}\]$

Вероятность того, что в третьей урне будет 6 белых шаров

$\[{P_6} = 1 - ({P_1} \cdot {P_2} + \overline {{P_1}} \cdot {\overline P _2}) = 1 - \frac{{49}}{{108}} - \frac{{10}}{{108}} = \frac{{49}}{{108}}\]$

Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 5 белых шаров

$\[{\widehat P_5} = \frac{5}{{11}}\]$

Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 6 белых шаров

$\[{\widehat P_6} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\]$

Вероятность вытащить из третьей урны белый шар, при условии, что там 7 белых шаров

$\[{\widehat P_7} = \frac{7}{{13}}\]$

По формуле полной вероятности, вероятность вытащить белый шар из третьей урны

$\[\begin{gathered} P = {P_5}{\widehat P_5} + {P_6}{\widehat P_6} + {P_7}{\widehat P_7} = \hfill \\ \hfill \\ = \frac{{10}}{{108}} \cdot \frac{5}{{11}} + \frac{{49}}{{108}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{49}}{{108}} \cdot \frac{7}{{13}} = \hfill \\ \end{gathered} \]$

$\[\begin{gathered} = \frac{{10}}{{108}} \cdot \frac{5}{{11}} + \frac{{49}}{{108}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{49}}{{108}} \cdot \frac{7}{{13}} = \hfill \\ \hfill \\ = \frac{{10 \cdot 2 \cdot 13 + 49 \cdot 11 \cdot 13 + 49 \cdot 2 \cdot 11}}{{108 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 13}} = 0,27 \hfill \\ \end{gathered} \]$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»