Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

Из доклада на FRSM-2008 [1].

(предыстория)

<< Предпосылки этого исследования имеют началом то, что около 30 лет назад, собственная скромная практика фортепианной настройки, привела меня к идее расширения обычной тогда (и теперь, между прочим) настройки 12РДО. Мои самостоятельные размышления указали на настройку 53РДО. Затем, из доступных в то время источников я узнал, что эта настройка уже давно известна и привлекала внимание Николая Меркатора1 ещё в XVII веке. С тех пор мысли о реализации 53РДО не покидали меня. Вместе с ними обдумывались идеи сонантометрии.

С 2002 года я имею возможность узнавать больше об интересующей меня настройке, так же как и о других, благодаря развитию Интернета. В частности, из статьи Джона C. Аллена [2] мне стало известно о существовании фисгармонии Роберта Холфорда Макдоуэла Бозанкета, имеющей настройку 53РДО и органа Адриана Дэниэля Фоккера с настройкой 31РДО. Эта статья также указала мне на важность и целесообразность исследования возможных способов переложения существующих музыкальных произведений из системы настройки 12РДО в другие.

В конце 2003 года, у меня была беседа с музыкальным теоретиком из Москвы, Надеждой Бородиной. Она очень внимательно отнеслась к моим мыслям, просила изложить их письменно и рекомендовала заняться практическими исследованиями. Несколько позже, после изучения с выполнением перевода на родной мне русский язык вышеупомянутой статьи Д. C. Аллена и знакомства с компьютерной программой Мануэля Оп де Кула Scala [3], я смог приступить к собственной практике исследования настройки 53РДО.

Проект начат 14.05.2004 и является моей собственной инициативой [4]. >>

За десять лет практики накопился некоторый опыт. Постараюсь подробно ответить на вопросы заинтересованных в его использовании.

Конструктивная критика неоценима для развития проекта и будет с благодарностью воспринята.

Вспомогательный материал для обсуждения: http://sonantometria.blogspot.com/

[1]. https://picasaweb.google.com/1033569285 ... oceedings#
[2].http://www.bikexprt.com/music/bosanqetrus.htm
[3]. http://www.huygens-fokker.org/scala/
[4]. https://sites.google.com/site/commator/

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Междисциплинарный раздел» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствует предмет обсуждения

commator
Сформулируйте предмет обсуждения.
Оформите правильно ссылку. Согласно правилам форума, читатель должен знать, что находится за ссылкой, чтобы решить для себя, идти ему по ней или нет. Также содержание, стоящее за ссылкой не должно быть существенным компонентом для понимания темы, а лишь вспомогательным.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Междисциплинарный раздел»
Причина переноса: возвращено без чёткой постановки в виде исключения в основном из любопытства.
В случае каких-либо нарушений тема поедет в Карантин обратно.

[commator]

Deggial в сообщении #986030 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Междисциплинарный раздел»
Причина переноса: возвращено без чёткой постановки в виде исключения в основном из любопытства.
В случае каких-либо нарушений тема поедет в Карантин обратно.

Премного благодарен и попробую добавить следующее:

Имя сонантометрия я изобрёл в 2005-м для называния им дисциплины использования расширенного множества тональных функций, включающего функции высшего порядка. Если элементы этого множества называть сонантами, то дисциплина их использования может быть названа сонантометрия.

Позже мне стало известно, что на пути к сонантометрии у меня были предшественники.

Математик Леонард Эйлер опубликовал в своё время арифметическое описание прототипа неполной системы ЧИП7 (чистая интонация предела 7 или 7-limit Just Intonation):



Музыкальный теоретик глобального масштаба Гуго Риман, тоже в своё время, сделал широкий шаг к музыкальной алгебре и описал формулами степени родства тонов полной системы ЧИП5 (чистая интонация предела 5 или 5-limit Just Intonation):



Затем опальный советский музыковед Алексей Оголевец предложил алгебраическое исчисление напряжённости интервалов системы ЧИП3 (чистая интонация предела 3 или 3-limit Just Intonation):

http://www.px-pict.com/7/3/2/4/3/im15/c.jpg

Сонантометрия описывает алгебраически системы ЧИПp (чистая интонация предела p или p-limit Just Intonation, где p — любое желаемое простое число) и наиболее близкими по дизайну ей оказались формулы Оголевца. По смыслу же ближе формулы Римана, но ни Риман ни Оголевец не заметили связи своих формул с тональными функциями, а эта связь, между тем, оказывается главной причиной существования возможности представления систем ЧИ как арифметическими, так и алгебраическими конструкциями, поскольку формирует её почему-то основная теорема арифметики, что и отображают в полной мере формулы сонантометрии.

[commator]

commator в сообщении #986085 писал(а):

степени родства тонов

Поскольку тоны (звуки, порождающие ощущение высоты) имеют спектры, то любая пара тонов более или менее родственна по количеству совпадающих элементов их спектров.

Например пара тонов, спектры которых совпадают по каждому элементу будет родственной до неразличимости, т. е. наиболее родственной, а в менее родственных парах может быть совпадение спектральных элементов через 1, через 2, ... или ещё каким либо образом не по каждому элементу, вплоть до полного несовпадения спектров.

[commator]

commator в сообщении #986290 писал(а):

тоны (звуки, порождающие ощущение высоты) имеют спектры

Гельмгольц (1895), с.362, писал(а):

Сложные тоны определенного класса предпочтительны для всех видов музыки, мелодической и гармонической; и почти исключительно используется для более тонкого и художественного развития музыки: это сложные тоны, которые имеют гармоничные верхние частичные тоны, то есть сложные тоны, в которых высшие частичные тоны имеют вибрационные числа, кратные вибрационному числу нижайшего частичного тона, или начального. Для хорошего музыкального воздействия мы требуем определенную умеренную степень силы в пяти или шести низших частичных тонах и низкую степень силы в более высоких частичнных тонах.

Этот класс сложных тонов с гармоничными частичными объективно известен через включение всех звучных движений, которые порождаются через механический процесс, что продолжает действовать равномерно, и который, следовательно, производит равномерное и длительное ощущение. В первом ряду среди них стоят сложные тоны человеческого голоса, первого музыкального инструмента человека по времени и значению. Сложные тоны всех духовых и смычковых инструментов принадлежат этому классу.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Гельмгольц — это хорошо, но с тех пор появилось много новых результатов.

[commator]

arseniiv в сообщении #986943 писал(а):

Гельмгольц — это хорошо, но с тех пор появилось много новых результатов.

Какие Вам, например, известны?

[commator]

arseniiv в сообщении #986943 писал(а):

Гельмгольц — это хорошо, но с тех пор появилось много новых результатов.

Мне представляется наиважнейшим следующий:

Позин и др. (1978), сс. 150-1 писал(а):

Схоутен [198] изучал высоту периодически повторяющихся звуковых импульсов. Частота повторения импульсов составляла 200 Гц (рис. 71, а). Такой сигнал с уровнем звука около 40 дБ выше порога слышимости подавался на ухо. При этом воспринималась высота, соответствующая основной частоте звука (200 Гц). Затем генерировался второй сигнал, отличавшийся от первого лишь отсутствием основной частоты (рис. 71, б). Оказалось, что высота, приписываемая испытуемым звуку б (с отсутствующей основной частотой), совпадает с высотой исходного звука а. В этом эксперименте высота звука б не совпадает с высотой самой низкочастотной имеющейся компоненты спектра сигнала, что противоречит закону Ома. Аналогичные результаты получаются при исключении из сигнала одной или нескольких низкочастотных гармоник. Звуки с отсутствующей основной частотой получили название резидуальных (от англ. residue — остаток).

[commator]

commator в сообщении #987146 писал(а):

arseniiv в сообщении #986943 писал(а):

Гельмгольц — это хорошо, но с тех пор появилось много новых результатов.

Мне представляется наиважнейшим следующий:

Позин и др. (1978), сс. 150-1 писал(а):

высота, приписываемая испытуемым звуку б (с отсутствующей основной частотой), совпадает с высотой исходного звука а. В этом эксперименте высота звука б не совпадает с высотой самой низкочастотной имеющейся компоненты спектра сигнала, что противоречит закону Ома. Аналогичные результаты получаются при исключении из сигнала одной или нескольких низкочастотных гармоник.

Существенное уточнение в пользу лозунга Гельмгольц — это хорошо:

Позин и др. (1978), сс. 160-1 писал(а):

Ритсма попытался еще более уменьшить число компонент, принадлежащих доминирующей части спектра. В одном из опытов основная частота составляла 200 Гц. Оказалось, что необходимо наличие по меньшей мере двух из трех компонент с частотами 600, 800 и 1000 Гц для того, чтобы эти компоненты доминировали. Итак, на основании изложенных экспериментов можно сформулировать следующий принцип доминантности: при восприятии высоты широкополосного сигнала доминирует та область спектра (тот участок основной мембраны), которая соответствует частотам, в 3—5 раз превышающим значение высоты.

Гельмгольц (1895), с.362, писал(а):

Сложные тоны определенного класса предпочтительны для всех видов музыки, мелодической и гармонической; и почти исключительно используется для более тонкого и художественного развития музыки: это сложные тоны, которые имеют гармоничные верхние частичные тоны, то есть сложные тоны, в которых высшие частичные тоны имеют вибрационные числа, кратные вибрационному числу нижайшего частичного тона, или начального. Для хорошего музыкального воздействия мы требуем определенную умеренную степень силы в пяти или шести низших частичных тонах и низкую степень силы в более высоких частичнных тонах.

Этот класс сложных тонов с гармоничными частичными объективно известен через включение всех звучных движений, которые порождаются через механический процесс, что продолжает действовать равномерно, и который, следовательно, производит равномерное и длительное ощущение. В первом ряду среди них стоят сложные тоны человеческого голоса, первого музыкального инструмента человека по времени и значению. Сложные тоны всех духовых и смычковых инструментов принадлежат этому классу.

[arseniiv]

commator в сообщении #987061 писал(а):

Какие Вам, например, известны?

Music: a mathematical offering, глава 4 (4.4–4.6, ну а в 4.7 как раз residual tones отмечаются). Вообще полезная книга, много ссылок; в 6.5 упоминается 53-EDO.

Ещё вот одна из страниц Сетареса (William A. Sethates), где-то у него на сайте есть примеры (в виде звуковых файлов), иллюстрирующие описанное.

[Свободный Художник]

Мне кажется, что для понимания теории commator’a будет весьма полезна книга:
Wright D.
Mathematics and Music.
American Mathematical Soc., 2009.
http://www.math.wustl.edu/~wright/Math109/00Book.pdf

-- Пн мар 09, 2015 21:06:23 --

И в особенности Chapter 11.
The Rational Numbers As Musical Intervals.
(эта глава начинается со страницы 125 указанного pdf-документа)

Эта же самая Глава важна также и для создаваемого мною Грундлагена:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2.html
(он в определенных аспектах перекликается, я считаю, с теорией commator’a).

[Свободный Художник]

commator в сообщении #986085 писал(а):

Позже мне стало известно, что на пути к сонантометрии у меня были предшественники.
Математик Леонард Эйлер опубликовал в своё время арифметическое описание прототипа неполной системы ЧИП7 (чистая интонация предела 7 или 7-limit Just Intonation):
Музыкальный теоретик глобального масштаба Гуго Риман, тоже в своё время, сделал широкий шаг к музыкальной алгебре и описал формулами степени родства тонов полной системы ЧИП5 (чистая интонация предела 5 или 5-limit Just Intonation):
Затем опальный советский музыковед Алексей Оголевец предложил алгебраическое исчисление напряжённости интервалов системы ЧИП3 (чистая интонация предела 3 или 3-limit Just Intonation):
Сонантометрия описывает алгебраически системы ЧИПp (чистая интонация предела p или p-limit Just Intonation, где p — любое желаемое простое число) ...

В основе своей ЧИПp являются бесконечными абелевыми группами; исследования о них можно посмотреть, например, здесь:
Aline Honingh.
Group Theoretic Description of Just Intonation.
In: Proceedings of UCM, Volume 3 , 2003.
https://staff.fnwi.uva.nl/a.k.honingh/p ... M_full.pdf

Расшифровка того, что означает аббревиатура "UCM":
UCM — Conference “Understanding and Creating Music”. Например:
UCM 2004 - Understanding and Creating Music - Caserta, Italia, November 2004, 23-27.
http://www.auditory.org/mhonarc/2004/msg00698.html

Marcus Pearce.
The Group-theoretic Description of Musical Pitch Systems.
Music Cognition Lab
School of Electronic Engineering & Computer Science
Queen Mary, University of London.
http://px-pict.com/articles/groups/balzano.rar
(это заархивированный pdf - файл)

Just intonation subgroups:
http://xenharmonic.wikispaces.com/Just+ ... 41e885817e

[Свободный Художник]

Мой набросок построения системы 3-limit Just Intonation при помощи операции взятия четвертой гармонической к заданной тройке "струн":
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html

[commator]

arseniiv в сообщении #987473 писал(а):

Music: a mathematical offering, глава 4 (4.4–4.6, ну а в 4.7 как раз residual tones отмечаются)

Был заинтригован:

Benson (2008), p. 148 писал(а):

Щютэн [англоязычные не произносят Schouten как неуклюжее Схоутен в русскоязычных переводах] показал, что довод Гельмгольца не полностью поясняет, что происходит для этих более сложных звуков. Если ухо одновременно подвержено звукам частот 1800 Гц, 2000 Гц и 2200 Гц, то подверженный слышит тон с частотой 200 Гц, представляющий "недостающий основной", и который может быть истолкован как комбинационный тон. Однако, если звуки имеют частоты 1840 Гц, 2040 Гц и 2240 Гц, то вместо слышания 200 Гц тон, как можно было бы ожидать по теории Гельмгольца, подверженный действительно слышит тон в 204 Гц. Пояснение Щютэна для этого было оспорено в более поздней работе, и, вероятно, справедливо сказать, что предмет еще не очень хорошо понят.

Вскоре предложу для обсуждения свою MIDI модель, которую так и хочется назвать: Свисток Щютэна.