Кривизны поверхности, образованной вращением параболы

[hurrdurrrderp]

Есть задача: доказать, что отношение главных кривизн поверхности, образованной вращением параболы вокруг директрисы, постоянно. Я уже нашёл способ параметризации поверхности в цилиндрической системе координат: $r(u, v) = (av^2 + a, u, v)$ Но вторая квадратичная форма у меня получилась равна нулю (из-за того, что сама цилиндрическая система координат криволинейная). Можно ли уже из этого сделать какой-то вывод?
Потом я попытался переделать эту параметризацию для декартовой системы координат, но там получается нечто страшное:
$r(u, v) = { ( {{av^2 + b} \over {\sqrt{1 + \tg^2(u)}}}; {{(av^2 + b) \tg(u)} \over {\sqrt{1 + \tg^2(u)}}}; v)}$
Уже коэффициенты первой квадратичной формы получаются неудобоваримые, не говоря про вторую. Нет ли какого-то другого способа? Можно как-то перейти от одной квадратичной формы к другой, зная, как поменялись координаты объемлющего пространства?

[ИСН]

hurrdurrrderp в сообщении #975696 писал(а):

Но вторая квадратичная форма у меня получилась равна нулю (из-за того, что сама цилиндрическая система координат криволинейная).

Это что и зачем? Чтобы найти кривизну в цилиндрических координатах, надо знать выражение для кривизны в цилиндрических координатах. Оно отличается от такового в декартовых, и не может быть получено из него путём пристального взгляда. Вы его знаете? (Я - нет.)
А параметризацию не надо переделывать, конечно. При этом она обычно так и получается какая-то косая. Надо сделать заново, с нуля, выбрав естественные для этой системы координаты. Ведь ту, цилиндрическую, Вы как-то сделали с нуля? Вот теперь надо эту.

[hurrdurrrderp]

Эм, главные кривизны - это два экстремума нормальной кривизны поверхности в данной точке. Берётся нормаль в точке и какой-нибудь вектор в касательной плоскости, через них проводится плоскость. В пересечении этой плоскости и нашей поверхности будет кривая. Её кривизна в этой точке называется нормальной кривизной. А про то, причём тут квадратичные формы, вот тут написано http://pskgu.ru/ebooks/andfpdf/451-453.pdf

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

hurrdurrrderp в сообщении #975696 писал(а):

(порядок координат ρ, φ, z)

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ИСН]

Да нет, про главные кривизны понятно, но что такое вторая квадратичная форма? Ну и первая заодно.

[svv]

hurrdurrrderp в сообщении #975696 писал(а):

Но вторая квадратичная форма у меня получилась равна нулю (из-за того, что сама цилиндрическая система координат криволинейная). Можно ли уже из этого сделать какой-то вывод?

К сожалению, только один — неправильно посчитали.

hurrdurrrderp в сообщении #975726 писал(а):

Эм, главные кривизны - это два экстремума нормальной кривизны поверхности в данной точке. Берётся нормаль в точке и какой-нибудь вектор в касательной плоскости, через них проводится плоскость. В пересечении этой плоскости и нашей поверхности будет кривая. Её кривизна в этой точке называется нормальной кривизной.

Хорошо! В таком случае, Вы, вероятно, понимаете и то, при каких именно положениях плоскости получаются экстремумы. А тогда нужны ли Вам $EFGLMN$?