Задачка по конечной абелевой группе

[Schwungrad]

Дано. $\mathrm{G}$ абелева группа, $\mathrm{D}$ ее "разностное множество" (difference set), $\mathrm{|G|=n^2+n+1}$.

Доказать, что для любого простого числа $p$ существует $g\in \mathrm{G}$, такой что $\mathrm{D^p\equiv D_g}$, где $\mathrm{D^p=\left\lbrace d^p\ |\ d\in D\right\rbrace}$ и $\mathrm{D_g=\left\lbrace d\cdot g\ |\ d\in D\right\rbrace}$.

Комментарий. Задали тут сыну, я пытался, но безуспешно. Видимо, доказательство может быть придумано на основе знаний книги D. Huges, C. Piper, Projective Planes, 1973. По крайней мере так советовал его доцент.

nnosipov в сообщении #975490 писал(а):

Schwungrad в сообщении #975485 писал(а):

$\mathrm{D}$ ее "разностное множество"

А что это? Приведите определение.

В формулировке задачи операция обозначена умноженем, хотя, как мне заметели, обычно для абелевых групп используется аддитивная операция. Чтобы не нарушать номенклатуру доцента продолжу использовать "умножение".

Определение. $\mathrm{G}$ конечная абелева группа группа порядка $\mathrm{|G|=n^2+n+1}$. Ее подмножество $\mathrm{D}$ из $n+1$ элементов называется "разностным множеством" (русский перевод я посмотрел в интернет-словаре, в оригинале задачи - Differenzmenge или difference set) для $\mathrm{G}$, если любой неединичный элемент $g\in \mathrm{G}$ может быть представлен единственным образом в виде $G=d_1\cdot d_2^{-1}$ где $d_1, d_2 \in \mathrm{D}$.

[nnosipov]

Schwungrad в сообщении #975485 писал(а):

$\mathrm{D}$ ее "разностное множество"

А что это? Приведите определение.

[patzer2097]

А что такое разностное множество? А еще здесь положено приводить попытки решения.

(nnosipov)

спасибо, я удалил написанную глупость

[nnosipov]

Для абелевых групп обычно используют аддитивную нотацию. Хотя здесь в определении $D_g$ умножение.

Что-то здесь не так: при $n=1$ и $p=3$ утверждение неверно. Возможно, на $p$ есть ограничения типа $p \equiv -1 \pmod{3}$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и). Необязательно Ваши. Можно сына.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.