Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Получив все мои решения для головоломки # 80, Radko Nachev пишет:

Цитата:

MANY THANKS FOR THE 7, THE 8 AND THE 10! YOU’VE DONE WONDERFUL WORK!
I PRESUME YOU KNOW THE FIRST LEVEL OF ORDER 9: 11 362 ( 11 353, 11 371 ) …

Ага, он не успокоился, так как минимальное решение для $n=9$ я не нашла
Подсказывает теоретически возможную минимальную магическую константу для квадрата 9-го порядка.
Да, догадываюсь, что моё решение не минимальное.
Но дело в том, что массив для минимальной магической константы не находится случайной генерацией (или надо очень долго ждать, когда случайная генерация попадёт на эту константу), его надо искать вручную.
Сейчас попробую.

[Nataly-Mak]

Это оказалось нетрудно.
Вот массив, дающий минимально возможную магическую константу 11353:

5 11 17 29 41 59 71  101  107  137  149  179  191  197  227 239  269  281  311  347  419  431  461  521  569  599  617  641  659  809  821  827  857  881 1019 1031 1049 1061 1091  1151 1229 1277 1289 1301 1319 1427 1451 1481 1487 1607 1619 1667 1697 1721 1787  1871 1877 1931 1949 1997 2027 2081 2087  2111 2129 2141 2237 2267 2309 2339 2381  2549  2591 2657 2687 2711 2729 2789 2801 2969 3119

Но вот беда: вероятностный метод решение для данного массива не находит.
Хотя этот метод для $n>7$ работает хорошо.
Есть основание предполагать, что решения с магической константой $S=11353$ не существует.
Найденное мной решение имеет магическую константу 12279. Сейчас посмотрю, что там можно ещё найти между этими константами.

Потенциальный массив, дающий магическую константу $S=11371$, решения не дал вероятностным методом.

А следующий потенциальный массив, дающий магическую константу $S=11373$, мгновенно дал решение:

1619 1487 179 2027 617 827 1949 2657 11
1151 2549 191 1061 2687 599 1697 1289 149
821 269 239 2339 857 29 1319 2789 2711
1931 1277 2801 1091 641 2111 1019 461 41
2267 1427 809 431 1301 1871 659 521 2087
1787 1229 1877 2309 311 2081 17 281 1481
1031 59 2729 101 227 1997 881 3299 1049
569 107 2129 1667 2141 137 2381 5 2237
197 2969 419 347 2591 1721 1451 71 1607

Могу предположить, что это минимальное решение.
Пропущены две потенциальные магические константы: 11353 и 11371. Но решений с такими магическими константами, похоже, не существует. Доказательства не имею.

[svb]

Предлагаю статью по разностным преобразованиям магических квадратов Pand2.

В первой главе доказана следующая теорема

Теорема 5.
Любой квадрат можно представить в виде суммы пандиагонального квадрата с нулевой суммой, примитивного квадрата и диагонального примитивного квадрата.

Во второй главе рассматривается структура пространства квадратов и приведены некоторые примеры векторного подхода.

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #971454 писал(а):

Теорема 5.
Любой квадрат можно представить в виде суммы пандиагонального квадрата с нулевой суммой, примитивного квадрата и диагонального примитивного квадрата.

а) "любой квадрат" - какой именно любой? Магический, пандиагональный магический? Или ещё какой-то?
б) "пандиагонального квадрата с нулевой суммой" - что такое "нулевая сумма"? Магическая константа этого пандиагонального квадрата равна нулю?
Если да, то давайте придерживаться принятой терминологии.
Далее: какими числами заполняется этот "пандиагональный квадрат с нулевой суммой"? Эти числа как-то связаны с тем "любым квадратом", который вы хотите представить в виде суммы?
в) "примитивного квадрата" - тот же вопрос: какими числами заполняется этот квадрат?"
г) "диагонального примитивного квадрата" - это что за квадрат? Дайте, пожалуйста, определение "диагонального примитивного квадрата".
Я знаю, что такое примитивный квадрат (по Россеру), а вот что такое "диагональный примитивный квадрат", не знаю.

После ответа на все заданные вопросы, приведите, пожалуйста, конкретный пример (числовой) для наглядности.

[svb]

1. Все определения имеются в статье.
2. Любой это любой квадрат из чисел.
3. Пример разложения:

   3    5    7   11   13   17 
  19   23   29   31   37   41 
 103  107  109  113  127  131 
 137  139  149  151  157  163 
 167  173  179  181  191  193 
 197  199  211  223  227  229 
K=1/1
 -25    5   62  101  164  197 
 161  191  248  287  350  383 
 926  956 1013 1052 1115 1148 
1235 1265 1322 1361 1424 1457 
1517 1547 1604 1643 1706 1739 
1820 1850 1907 1946 2009 2042 
K=1/9
  12    2    9   11  -18  -16 
  11   27    2  -24  -16    0 
  15   11   -6  -25   -6   11 
  11  -18  -16   12    2    9 
 -24  -16    0   11   27    2 
 -25   -6   11   15   11   -6 
K=1/9
  40   38   -8  -13  -29  -28 
  -1  -11   11   16   -1  -14 
 -14   -4  -26  -10   34   20 
 -13    4   35  -14  -13    1 
  10   26    7  -25  -14   -4 
 -22  -53  -19   46   23   25 
K=1/9

Начало статьи и демонстрационная программа, позволяющая производить разложение, были опубликованы 21.10.2010.

[Nataly-Mak]

svb
если вы хотите обсудить предложенную статью здесь, то, наверное, вам надо ответить на вопросы, заданные потенциальным участником обсуждения (то есть мной).
Если же вы обсуждения статьи не предполагаете, тогда вопросов больше не имею.

Да, да, именно в октябре 2010 г. (как только вы опубликовали ссылку на статью) я и смотрела начало статьи и теорему эту видела, но и тогда ничего в ней не поняла. В текст статьи тоже пыталась вникнуть и тоже ничего не поняла. Может, я такая тупая, что до серьёзных теорий ещё не доросла?

Пример вы напрасно привели. Без ответов на заданные мной вопросы я всё равно в нём ничего не понимаю.
"Любой квадрат из чисел" вообще какое имеет отношение к магическим квадратам?

Хотя, пардон, я же сказала, что вопросов больше не имею, если вы обсуждения статьи не предполагаете.

[svb]

Дав ссылку на статью я преследовал следующие цели:

1. Познакомить интересующихся теорией магических квадратов с конкретным взглядом на эти "странные" объекты математики. Лично я не считаю, что эти объекты могут интересовать только любителей головоломок.
2. Получить отклики на статью. Менее всего меня интересуют споры о терминологии, о качестве текста. Мне самому текст не нравится и в будущем, по мере накопления материала, он будет меняться. Указания на ошибки важны. Как бы я не стремился к "строгости", но ошибки неизбежны. Поэтому взгляд со стороны для меня очень важен.
3. Если кто-то заинтересуется изложенным подходом и начнет его развивать, то это, пожалуй, главная цель публикации.
4. Получить дополнительную информацию. Возможно (почти наверняка) были работы в других областях математики, которые можно было бы с успехом использовать в дальнейшей работе по магическим квадратам.

На форуме невозможно дать всю статью со всеми подробными объяснениями. Это трудно сделать даже в самой статье, но ссылка дана на файл pdf, которая дает возможность сразу же перейти к просмотру текста. Организаторы форума не любят ссылок без пояснений, но минимальные пояснения я дал.

Надеюсь, что и этот текст не нарушает концепцию форума и дает дополнительную информацию о статье и отвечает на вопрос, зачем эта ссылка дана в теме "Магические квадраты".

[Nataly-Mak]

svb
спасибо за развёрнутый ответ, который мне, впрочем, ничего не дал.
Я уже написала выше, что текст статьи смотрела давно, но ничего в нём не поняла.

Буду рада, если кто-то другой поймёт статью, и вы достигнете всех целей, которые преследовали, дав ссылку на статью.

Просто для сравнения: я сейчас много пишу о магических квадратах в своей группе на форуме ПЕН. Ссылки на свои статьи тоже даю по мере необходимости (понятно, что все статьи на форуме выложить невозможно). Но! При этом я подробно отвечаю (всегда!) на любой заданный вопрос по теме. Если даже вопросы будут по конкретной статье, буду всё равно подробно отвечать. Мало ли что: ну вот непонятно написано в статье, человек не понял и решил спросить в теме. И что же? Отсылать его снова в статью? Не считаю это правильным.

А теперь по поводу терминологии. В своей статье вы можете писать что угодно и как угодно - называйте чёрта бабой Ягой, пожалуйста. Но в теме я прошу придерживаться общепринятой терминологии. И никаких споров это не предусматривает.

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #971576 писал(а):

а) "любой квадрат" - какой именно любой? Магический, пандиагональный магический? Или ещё какой-то?

Этот вопрос озадачил меня. По умолчанию, это квадратная матрица из целых чисел. Как отвечать? Вообще то, теорема верна и для вещественных чисел.

Цитата:

б) "пандиагонального квадрата с нулевой суммой" - что такое "нулевая сумма"? Магическая константа этого пандиагонального квадрата равна нулю?
Если да, то давайте придерживаться принятой терминологии.
Далее: какими числами заполняется этот "пандиагональный квадрат с нулевой суммой"? Эти числа как-то связаны с тем "любым квадратом", который вы хотите представить в виде суммы?

Привязка "любого квадрата" к результирующему "пандиагональному" почти однозначна, с точностью до прибавления константы ко всем элементам. Термин "нулевая сумма" идет из статьи Россера. Это нулевая сумма всех элементов квадрата. Применительно к магическим квадратам это требование эквивалентно нулевой магической сумме. Никакого нарушения "принятой" терминологии я не увидел и не понял вашего вопроса.

Цитата:

в) "примитивного квадрата" - тот же вопрос: какими числами заполняется этот квадрат?"

Аналогично. Мне ваш вопрос не понятен.

Цитата:

г) "диагонального примитивного квадрата" - это что за квадрат? Дайте, пожалуйста, определение "диагонального примитивного квадрата". Я знаю, что такое примитивный квадрат (по Россеру), а вот что такое "диагональный примитивный квадрат", не знаю.

Примитивные квадраты это $A^{i,j} = a^i + b^j $, по аналогии, "диагональные примитивные квадраты" это $B^{i,j} = c^{i + j} + d^{i - j}$

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #971914 писал(а):

Этот вопрос озадачил меня. По умолчанию, это квадратная матрица из целых чисел. Как отвечать? Вообще то, теорема верна и для вещественных чисел.

По какому "умолчанию"? Где такое "умолчание" было оговорено в данной теме?
Меня, например, термин "любой квадрат" поставил в тупик.
В этой теме рассматриваются магические квадраты, которые могут быть разными: ассоциативными, пандиагональными, совершенными, полумагическими (неполными) и т.д. Но сказать любой квадрат - это ничего не сказать!

Цитата:

Привязка "любого квадрата" к результирующему "пандиагональному" почти однозначна, с точностью до прибавления константы ко всем элементам.

Ничего не поняла. Не знаю никаких "результирующих "пандиагональных"" квадратов.

Цитата:

Термин "нулевая сумма" идет из статьи Россера. Это нулевая сумма всех элементов квадрата. Применительно к магическим квадратам это требование эквивалентно нулевой магической сумме. Никакого нарушения "принятой" терминологии я не увидел и не понял вашего вопроса.

Давайте по порядку. Я сначала задала вопрос: что такое нулевая сумма? Потому что не обязана знать термины из статьи Россера. А далее высказала предположение, что это магическая константа квадрата. И только потом заметила, что если это так, то следует придерживаться общепринятой терминологии.
А затем вы написали, что вас не интересуют споры о терминологии. Я ответила уже на это.
Такой был порядок вопросов-ответов.

Цитата:

Примитивные квадраты это $A^{i,j} = a^i + b^j $, по аналогии, "диагональные примитивные квадраты" это $B^{i,j} = c^{i + j} + d^{i - j}$

И снова ничего не поняла. Ваше определение примитивного квадрата совсем непонятно. Что: любой элемент $A^{i,j}$ примитивного квадрата есть сумма каких угодно $a^i, b^j$? Это интересно!

Ладно, я больше не буду ни о чём спрашивать. Не понимаю ваших терминов и определений, текста вашей статьи не понимаю, приведённую теорему не понимаю и зачем вообще нужна такая теорема, тоже не понимаю.
Похоже, что это не для моего ума.

[svb]

Попробовал применить материал выложенной статьи для получения "практических" результатов.
Следующие формулы выдала небольшая программа:

(Оффтоп)

Идеальный квадрат N=5
A[0,0]=+p1
A[0,1]=+p2
A[0,2]=+p3
A[0,3]=+p4
A[0,4]=+5S/5-p1-p2-p3-p4
A[1,0]=+3S/5-p1-p2
A[1,1]=+3S/5-p1-p2-p3+p4
A[1,2]=+3S/5-p2-p4
A[1,3]=-2S/5+p1+2p2
A[1,4]=-2S/5+p1+p2+p3
A[2,0]=+S/5+p2-p4
A[2,1]=-4S/5+2p1+2p2+p3
A[2,2]=+S/5
A[2,3]=+6S/5-2p1-2p2-p3
A[2,4]=+S/5-p2+p4
A[3,0]=+4S/5-p1-p2-p3
A[3,1]=+4S/5-p1-2p2
A[3,2]=-S/5+p2+p4
A[3,3]=-S/5+p1+p2+p3-p4
A[3,4]=-S/5+p1+p2
A[4,0]=-3S/5+p1+p2+p3+p4
A[4,1]=+2S/5-p4
A[4,2]=+2S/5-p3
A[4,3]=+2S/5-p2
A[4,4]=+2S/5-p1

Идеальный квадрат N=6
A[0,0]=+p1
A[0,1]=+p2
A[0,2]=+p3
A[0,3]=+p4
A[0,4]=+p5
A[0,5]=+6S/6-p1-p2-p3-p4-p5
A[1,0]=+p6
A[1,1]=+p7
A[1,2]=+6S/6-p1-2p2-p3+p5-p6-p7
A[1,3]=+6S/6-p1-p2-p3-p6-p7
A[1,4]=-6S/6+2p1+2p2+2p3+p7
A[1,5]=+p2-p5+p6
A[2,0]=+9S/6-2p1-2p2-p3-2p6-p7
A[2,1]=-3S/6+p1+p2+p3+p5
A[2,2]=-3S/6+p1+2p2-2p5+2p6+p7
A[2,3]=-3S/6+p1+p2+p3-p4-p5+2p6+p7
A[2,4]=+3S/6-p1-p3
A[2,5]=+3S/6-2p2+p4+2p5-2p6-p7
A[3,0]=-S/6+2p2-p4-2p5+2p6+p7
A[3,1]=-S/6+p1+p3
A[3,2]=+5S/6-p1-p2-p3+p4+p5-2p6-p7
A[3,3]=+5S/6-p1-2p2+2p5-2p6-p7
A[3,4]=+5S/6-p1-p2-p3-p5
A[3,5]=-7S/6+2p1+2p2+p3+2p6+p7
A[4,0]=+2S/6-p2+p5-p6
A[4,1]=+8S/6-2p1-2p2-2p3-p7
A[4,2]=-4S/6+p1+p2+p3+p6+p7
A[4,3]=-4S/6+p1+2p2+p3-p5+p6+p7
A[4,4]=+2S/6-p7
A[4,5]=+2S/6-p6
A[5,0]=-4S/6+p1+p2+p3+p4+p5
A[5,1]=+2S/6-p5
A[5,2]=+2S/6-p4
A[5,3]=+2S/6-p3
A[5,4]=+2S/6-p2
A[5,5]=+2S/6-p1

Идеальный квадрат N=7
A[0,0]=+p1
A[0,1]=+p2
A[0,2]=+p3
A[0,3]=+p4
A[0,4]=+p5
A[0,5]=+p6
A[0,6]=+7S/7-p1-p2-p3-p4-p5-p6
A[1,0]=+p7
A[1,1]=+p8
A[1,2]=+p9
A[1,3]=+p10
A[1,4]=+p11
A[1,5]=+p12
A[1,6]=+7S/7-p7-p8-p9-p10-p11-p12
A[2,0]=+6S/7-p1-p2-p3-p7-p8
A[2,1]=+6S/7-p1-2p2-p3-p4+p5+p6-p7-p8-p9+p12
A[2,2]=+6S/7-p1-p2-2p3+p6-p8-p9-p10+p11
A[2,3]=+6S/7-p2-p4-p6-p9-p11
A[2,4]=-S/7+p1+2p2+p3+p4-p5+p9-p10-p11-p12
A[2,5]=-8S/7+p1+2p2+2p3-p6+p7+2p8+p9+p10
A[2,6]=-8S/7+p1+p2+p3+p4+p7+p8+p9+p10+p11
A[3,0]=+S/7+p2+p3-p5-p6+p8-p12
A[3,1]=-13S/7+2p1+3p2+3p3+p4-p5-p6+2p7+2p8+2p9+p10
A[3,2]=-6S/7+2p1+3p2+2p3+p4-p6+p8+p9-p11-p12
A[3,3]=+S/7
A[3,4]=+8S/7-2p1-3p2-2p3-p4+p6-p8-p9+p11+p12
A[3,5]=+15S/7-2p1-3p2-3p3-p4+p5+p6-2p7-2p8-2p9-p10
A[3,6]=+S/7-p2-p3+p5+p6-p8+p12
A[4,0]=+10S/7-p1-p2-p3-p4-p7-p8-p9-p10-p11
A[4,1]=+10S/7-p1-2p2-2p3+p6-p7-2p8-p9-p10
A[4,2]=+3S/7-p1-2p2-p3-p4+p5-p9+p10+p11+p12
A[4,3]=-4S/7+p2+p4+p6+p9+p11
A[4,4]=-4S/7+p1+p2+2p3-p6+p8+p9+p10-p11
A[4,5]=-4S/7+p1+2p2+p3+p4-p5-p6+p7+p8+p9-p12
A[4,6]=-4S/7+p1+p2+p3+p7+p8
A[5,0]=-5S/7+p7+p8+p9+p10+p11+p12
A[5,1]=+2S/7-p12
A[5,2]=+2S/7-p11
A[5,3]=+2S/7-p10
A[5,4]=+2S/7-p9
A[5,5]=+2S/7-p8
A[5,6]=+2S/7-p7
A[6,0]=-5S/7+p1+p2+p3+p4+p5+p6
A[6,1]=+2S/7-p6
A[6,2]=+2S/7-p5
A[6,3]=+2S/7-p4
A[6,4]=+2S/7-p3
A[6,5]=+2S/7-p2
A[6,6]=+2S/7-p1

Идеальный квадрат N=8
A[0,0]=+p1
A[0,1]=+p2
A[0,2]=+p3
A[0,3]=+p4
A[0,4]=+p5
A[0,5]=+p6
A[0,6]=+p7
A[0,7]=+8S/8-p1-p2-p3-p4-p5-p6-p7
A[1,0]=+p8
A[1,1]=+p9
A[1,2]=+p10
A[1,3]=+p11
A[1,4]=+p12
A[1,5]=+p13
A[1,6]=+p14
A[1,7]=+8S/8-p8-p9-p10-p11-p12-p13-p14
A[2,0]=+p15
A[2,1]=+p16
A[2,2]=+p17
A[2,3]=+16S/8-2p1-3p2-3p3-2p4+p6+p7-p8-2p9-2p10-p11+p13+p14-p15-p16-p17
A[2,4]=+16S/8-2p1-2p2-3p3-p4-p5+p6-p8-2p9-p10-p11+p14-p15-p16-p17
A[2,5]=-8S/8+2p1+2p2+3p3+p4+p5-p6+p9+p10+p11-p12-p13-p14+p17
A[2,6]=-8S/8+2p2+p3+p4-p5-p6-2p7+2p8+2p9+2p10+p11+p12+p16
A[2,7]=-8S/8+2p1+p2+2p3+p4+p5+p7+p9-p14+p15
A[3,0]=+16S/8-2p1-2p2-2p3-p4-2p8-2p9-p10-2p15-p16
A[3,1]=+8S/8-2p1-2p2-2p3-p4-p5+p6-p9+p12+p13+2p14-p15-p16-p17
A[3,2]=-8S/8+2p1+2p2+2p3+p4+p5+p7+p9-p12-p14+p15
A[3,3]=-16S/8+3p1+4p2+4p3+2p4-2p6-2p7+2p8+3p9+2p10-2p13-2p14+2p15+2p16+p17
A[3,4]=-16S/8+3p1+3p2+4p3+2p4-2p6-p7+2p8+3p9+p10+p11-p12-p13-2p14+2p15+2p16+p17
A[3,5]=+p7-p11+p15
A[3,6]=+16S/8-2p1-3p2-3p3-2p4+2p6+p7-2p8-2p9-2p10-p11+p13+p14-p15-p16-p17
A[3,7]=+8S/8-2p1-2p2-3p3-p4+p6-2p9+p11+p12+p13+2p14-2p15-p16
A[4,0]=-6S/8+2p1+2p2+3p3+p4-p6+2p9-p11-p12-p13-2p14+2p15+p16
A[4,1]=-14S/8+2p1+3p2+3p3+2p4-2p6-p7+2p8+2p9+2p10+p11-p13-p14+p15+p16+p17
A[4,2]=+2S/8-p7+p11-p15
A[4,3]=+18S/8-3p1-3p2-4p3-2p4+2p6+p7-2p8-3p9-p10-p11+p12+p13+2p14-2p15-2p16-p17
A[4,4]=+18S/8-3p1-4p2-4p3-2p4+2p6+2p7-2p8-3p9-2p10+2p13+2p14-2p15-2p16-p17
A[4,5]=+10S/8-2p1-2p2-2p3-p4-p5-p7-p9+p12+p14-p15
A[4,6]=-6S/8+2p1+2p2+2p3+p4+p5-p6+p9-p12-p13-2p14+p15+p16+p17
A[4,7]=-14S/8+2p1+2p2+2p3+p4+2p8+2p9+p10+2p15+p16
A[5,0]=+10S/8-2p1-p2-2p3-p4-p5-p7-p9+p14-p15
A[5,1]=+10S/8-2p2-p3-p4+p5+p6+2p7-2p8-2p9-2p10-p11-p12-p16
A[5,2]=+10S/8-2p1-2p2-3p3-p4-p5+p6-p9-p10-p11+p12+p13+p14-p17
A[5,3]=-14S/8+2p1+2p2+3p3+p4+p5-p6+p8+2p9+p10+p11-p14+p15+p16+p17
A[5,4]=-14S/8+2p1+3p2+3p3+2p4-p6-p7+p8+2p9+2p10+p11-p13-p14+p15+p16+p17
A[5,5]=+2S/8-p17
A[5,6]=+2S/8-p16
A[5,7]=+2S/8-p15
A[6,0]=-6S/8+p8+p9+p10+p11+p12+p13+p14
A[6,1]=+2S/8-p14
A[6,2]=+2S/8-p13
A[6,3]=+2S/8-p12
A[6,4]=+2S/8-p11
A[6,5]=+2S/8-p10
A[6,6]=+2S/8-p9
A[6,7]=+2S/8-p8
A[7,0]=-6S/8+p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7
A[7,1]=+2S/8-p7
A[7,2]=+2S/8-p6
A[7,3]=+2S/8-p5
A[7,4]=+2S/8-p4
A[7,5]=+2S/8-p3
A[7,6]=+2S/8-p2
A[7,7]=+2S/8-p1

Идеальный квадрат N=9
A[0,0]=+p1
A[0,1]=+p2
A[0,2]=+p3
A[0,3]=+p4
A[0,4]=+p5
A[0,5]=+p6
A[0,6]=+p7
A[0,7]=+p8
A[0,8]=+9S/9-p1-p2-p3-p4-p5-p6-p7-p8
A[1,0]=+p9
A[1,1]=+p10
A[1,2]=+p11
A[1,3]=+p12
A[1,4]=+p13
A[1,5]=+p14
A[1,6]=+p15
A[1,7]=+p16
A[1,8]=+9S/9-p9-p10-p11-p12-p13-p14-p15-p16
A[2,0]=+p17
A[2,1]=+p18
A[2,2]=+p19
A[2,3]=+p20
A[2,4]=+p21
A[2,5]=+p22
A[2,6]=+p23
A[2,7]=+p24
A[2,8]=+9S/9-p17-p18-p19-p20-p21-p22-p23-p24
A[3,0]=+10S/9-p1-p2-p3-p4-p9-p10-p11-p17-p18
A[3,1]=+10S/9-p1-2p2-2p3-p4-p5+p6+p7+p8-p9-2p10-p11-p12+p15+p16-p17-p18-p19+p24
A[3,2]=+10S/9-p1-2p2-2p3-2p4+2p7+p8-p9-p10-2p11-p12-p13+p14+p15+p16-p18-p19-p20+p23
A[3,3]=+10S/9-p1-p2-2p3-p4-p5+p6+p8-p10-p11-2p12+p15-p19-p20-p21+p22
A[3,4]=+10S/9-p2-p4-p6-p8-p11-p13-p15-p20-p22
A[3,5]=+S/9+p1+2p2+p3+2p4-p7+p11-2p14-p15-p16+p20-p21-p22-p23
A[3,6]=-8S/9+p1+2p2+3p3+p4+p5-p6-p7-p8+p9+2p10+2p11+2p12-p15+p19-p22-p23-p24
A[3,7]=-17S/9+p1+2p2+2p3+2p4-p7-p8+p9+2p10+2p11+p12+p13-p16+p17+2p18+p19+p20+p21+p22
A[3,8]=-17S/9+p1+p2+p3+p4+p5+p9+p10+p11+p12+p13+p14+p17+p18+p19+p20+p21+p22+p23
A[4,0]=+S/9+p2+p3+p4-p6-p7-p8+p10+p11-p15-p16+p18-p24
A[4,1]=-26S/9+2p1+3p2+4p3+3p4+p5-p6-2p7-p8+2p9+3p10+3p11+2p12+p13-p15-p16+2p17+2p18+2p19+p20+p21+p22
A[4,2]=-17S/9+2p1+4p2+4p3+3p4+p5-p6-2p7-2p8+2p9+3p10+3p11+3p12+p13-p14-p15-p16+p18+p19+p20-p22-p23-p24
A[4,3]=-8S/9+2p1+3p2+3p3+2p4+p5-p7-p8+p10+2p11+p12-p14-2p15-p16+p19+p20-p22-p23
A[4,4]=+S/9
A[4,5]=+10S/9-2p1-3p2-3p3-2p4-p5+p7+p8-p10-2p11-p12+p14+2p15+p16-p19-p20+p22+p23
A[4,6]=+19S/9-2p1-4p2-4p3-3p4-p5+p6+2p7+2p8-2p9-3p10-3p11-3p12-p13+p14+p15+p16-p18-p19-p20+p22+p23+p24
A[4,7]=+28S/9-2p1-3p2-4p3-3p4-p5+p6+2p7+p8-2p9-3p10-3p11-2p12-p13+p15+p16-2p17-2p18-2p19-p20-p21-p22
A[4,8]=+S/9-p2-p3-p4+p6+p7+p8-p10-p11+p15+p16-p18+p24
A[5,0]=+19S/9-p1-p2-p3-p4-p5-p9-p10-p11-p12-p13-p14-p17-p18-p19-p20-p21-p22-p23
A[5,1]=+19S/9-p1-2p2-2p3-2p4+p7+p8-p9-2p10-2p11-p12-p13+p16-p17-2p18-p19-p20-p21-p22
A[5,2]=+10S/9-p1-2p2-3p3-p4-p5+p6+p7+p8-p9-2p10-2p11-2p12+p15-p19+p22+p23+p24
A[5,3]=+S/9-p1-2p2-p3-2p4+p7-p11+2p14+p15+p16-p20+p21+p22+p23
A[5,4]=-8S/9+p2+p4+p6+p8+p11+p13+p15+p20+p22
A[5,5]=-8S/9+p1+p2+2p3+p4+p5-p6-p8+p10+p11+2p12-p15+p19+p20+p21-p22
A[5,6]=-8S/9+p1+2p2+2p3+2p4-2p7-p8+p9+p10+2p11+p12+p13-p14-p15-p16+p18+p19+p20-p23
A[5,7]=-8S/9+p1+2p2+2p3+p4+p5-p6-p7-p8+p9+2p10+p11+p12-p15-p16+p17+p18+p19-p24
A[5,8]=-8S/9+p1+p2+p3+p4+p9+p10+p11+p17+p18
A[6,0]=-7S/9+p17+p18+p19+p20+p21+p22+p23+p24
A[6,1]=+2S/9-p24
A[6,2]=+2S/9-p23
A[6,3]=+2S/9-p22
A[6,4]=+2S/9-p21
A[6,5]=+2S/9-p20
A[6,6]=+2S/9-p19
A[6,7]=+2S/9-p18
A[6,8]=+2S/9-p17
A[7,0]=-7S/9+p9+p10+p11+p12+p13+p14+p15+p16
A[7,1]=+2S/9-p16
A[7,2]=+2S/9-p15
A[7,3]=+2S/9-p14
A[7,4]=+2S/9-p13
A[7,5]=+2S/9-p12
A[7,6]=+2S/9-p11
A[7,7]=+2S/9-p10
A[7,8]=+2S/9-p9
A[8,0]=-7S/9+p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8
A[8,1]=+2S/9-p8
A[8,2]=+2S/9-p7
A[8,3]=+2S/9-p6
A[8,4]=+2S/9-p5
A[8,5]=+2S/9-p4
A[8,6]=+2S/9-p3
A[8,7]=+2S/9-p2
A[8,8]=+2S/9-p1

Идеальный квадрат N=10
A[0,0]=+p1
A[0,1]=+p2
A[0,2]=+p3
A[0,3]=+p4
A[0,4]=+p5
A[0,5]=+p6
A[0,6]=+p7
A[0,7]=+p8
A[0,8]=+p9
A[0,9]=+10S/10-p1-p2-p3-p4-p5-p6-p7-p8-p9
A[1,0]=+p10
A[1,1]=+p11
A[1,2]=+p12
A[1,3]=+p13
A[1,4]=+p14
A[1,5]=+p15
A[1,6]=+p16
A[1,7]=+p17
A[1,8]=+p18
A[1,9]=+10S/10-p10-p11-p12-p13-p14-p15-p16-p17-p18
A[2,0]=+p19
A[2,1]=+p20
A[2,2]=+p21
A[2,3]=+p22
A[2,4]=+p23
A[2,5]=+p24
A[2,6]=+p25
A[2,7]=+p26
A[2,8]=+p27
A[2,9]=+10S/10-p19-p20-p21-p22-p23-p24-p25-p26-p27
A[3,0]=+p28
A[3,1]=+p29
A[3,2]=+p30
A[3,3]=+p31
A[3,4]=+30S/10-2p1-4p2-4p3-4p4-2p5+2p7+2p8+2p9-2p10-3p11-4p12-3p13-2p14+p16+2p17+p18-p19-2p20-2p21-2p22-p23+p25+p26+p27-p28-p29-p30-p31
A[3,5]=+30S/10-2p1-3p2-4p3-3p4-2p5+p7+2p8+p9-2p10-3p11-3p12-3p13-p14-p15+p16+p17+p18-p19-2p20-2p21-p22-p23+p26+p27-p28-p29-p30-p31
A[3,6]=-10S/10+2p1+2p2+3p3+2p4+2p5-p8+p11+p12+2p13-2p16-p17-p18+p21+p22+p23-p24-p25-p26+p31
A[3,7]=-10S/10+2p2+2p3+2p4-2p7-2p8-2p9+2p10+2p11+3p12+2p13+2p14-p17+p20+p21+p22-p25-p26-p27+p30
A[3,8]=-20S/10+2p1+2p2+3p3+2p4+2p5-p8+2p11+p12+p13-p16-p17-2p18+2p19+2p20+2p21+p22+p23+p24+p25+p29
A[3,9]=-10S/10+p2+p4-p7-p9+2p10+p11+2p12+p13+p14+p15+p16+p18+p20-p27+p28
A[4,0]=+25S/10-2p1-2p2-2p3-2p4-p5-2p10-2p11-2p12-p13-2p19-2p20-p21-2p28-p29
A[4,1]=+5S/10-2p2-p3-p4+2p7+p8+2p9-2p10-2p11-2p12-p13-p14+p17-p20+p23+p24+p25+p26+2p27-p28-p29-p30
A[4,2]=+15S/10-2p1-2p2-3p3-2p4-2p5+2p8-p11-p12-p13+2p16+2p17+2p18-p19-p20-2p21-p22-p23+p26-p29-p30-p31
A[4,3]=-15S/10+2p1+3p2+3p3+2p4+2p5-p8+p10+2p11+2p12+p13-p16-p17-p18+p19+p20+p21-p24-p26-p27+p28+p29
A[4,4]=-35S/10+3p1+6p2+6p3+6p4+2p5-4p7-4p8-4p9+4p10+5p11+6p12+4p13+2p14-2p16-4p17-2p18+2p19+4p20+3p21+2p22-2p25-2p26-2p27+2p28+2p29+2p30+p31
A[4,5]=-35S/10+3p1+5p2+6p3+5p4+3p5-p6-3p7-4p8-3p9+4p10+5p11+5p12+4p13+2p14-2p16-3p17-2p18+2p19+4p20+3p21+p22+p23-p24-p25-2p26-2p27+2p28+2p29+2p30+p31
A[4,6]=-5S/10+p2+p4-p7+p10+p11+p12+p19+p20-p23-p27+p28+p29
A[4,7]=+25S/10-2p1-4p2-4p3-4p4-2p5+2p7+3p8+2p9-2p10-3p11-3p12-3p13-2p14+2p16+2p17+2p18-p19-2p20-2p21-2p22-p23+p25+p26+p27-p29-p30-p31
A[4,8]=+25S/10-2p1-3p2-4p3-3p4-2p5+2p7+2p8+p9-2p10-3p11-3p12-2p13-p14+p16+2p17+p18-2p19-2p20-2p21-p22+p26+p27-p28-p29-p30
A[4,9]=+5S/10-2p2-p3-2p4+p6+2p7+p8+2p9-2p10-2p11-3p12-p13+p17-2p20+p22+p23+p24+p25+p26+2p27-2p28-p29
A[5,0]=-3S/10+2p2+p3+2p4-p6-2p7-p8-2p9+2p10+2p11+3p12+p13-p17+2p20-p22-p23-p24-p25-p26-2p27+2p28+p29
A[5,1]=-23S/10+2p1+3p2+4p3+3p4+2p5-2p7-2p8-p9+2p10+3p11+3p12+2p13+p14-p16-2p17-p18+2p19+2p20+2p21+p22-p26-p27+p28+p29+p30
A[5,2]=-23S/10+2p1+4p2+4p3+4p4+2p5-2p7-3p8-2p9+2p10+3p11+3p12+3p13+2p14-2p16-2p17-2p18+p19+2p20+2p21+2p22+p23-p25-p26-p27+p29+p30+p31
A[5,3]=+7S/10-p2-p4+p7-p10-p11-p12-p19-p20+p23+p27-p28-p29
A[5,4]=+37S/10-3p1-5p2-6p3-5p4-3p5+p6+3p7+4p8+3p9-4p10-5p11-5p12-4p13-2p14+2p16+3p17+2p18-2p19-4p20-3p21-p22-p23+p24+p25+2p26+2p27-2p28-2p29-2p30-p31
A[5,5]=+37S/10-3p1-6p2-6p3-6p4-2p5+4p7+4p8+4p9-4p10-5p11-6p12-4p13-2p14+2p16+4p17+2p18-2p19-4p20-3p21-2p22+2p25+2p26+2p27-2p28-2p29-2p30-p31
A[5,6]=+17S/10-2p1-3p2-3p3-2p4-2p5+p8-p10-2p11-2p12-p13+p16+p17+p18-p19-p20-p21+p24+p26+p27-p28-p29
A[5,7]=-13S/10+2p1+2p2+3p3+2p4+2p5-2p8+p11+p12+p13-2p16-2p17-2p18+p19+p20+2p21+p22+p23-p26+p29+p30+p31
A[5,8]=-3S/10+2p2+p3+p4-2p7-p8-2p9+2p10+2p11+2p12+p13+p14-p17+p20-p23-p24-p25-p26-2p27+p28+p29+p30
A[5,9]=-23S/10+2p1+2p2+2p3+2p4+p5+2p10+2p11+2p12+p13+2p19+2p20+p21+2p28+p29
A[6,0]=+12S/10-p2-p4+p7+p9-2p10-p11-2p12-p13-p14-p15-p16-p18-p20+p27-p28
A[6,1]=+22S/10-2p1-2p2-3p3-2p4-2p5+p8-2p11-p12-p13+p16+p17+2p18-2p19-2p20-2p21-p22-p23-p24-p25-p29
A[6,2]=+12S/10-2p2-2p3-2p4+2p7+2p8+2p9-2p10-2p11-3p12-2p13-2p14+p17-p20-p21-p22+p25+p26+p27-p30
A[6,3]=+12S/10-2p1-2p2-3p3-2p4-2p5+p8-p11-p12-2p13+2p16+p17+p18-p21-p22-p23+p24+p25+p26-p31
A[6,4]=-28S/10+2p1+3p2+4p3+3p4+2p5-p7-2p8-p9+2p10+3p11+3p12+3p13+p14+p15-p16-p17-p18+p19+2p20+2p21+p22+p23-p26-p27+p28+p29+p30+p31
A[6,5]=-28S/10+2p1+4p2+4p3+4p4+2p5-2p7-2p8-2p9+2p10+3p11+4p12+3p13+2p14-p16-2p17-p18+p19+2p20+2p21+2p22+p23-p25-p26-p27+p28+p29+p30+p31
A[6,6]=+2S/10-p31
A[6,7]=+2S/10-p30
A[6,8]=+2S/10-p29
A[6,9]=+2S/10-p28
A[7,0]=-8S/10+p19+p20+p21+p22+p23+p24+p25+p26+p27
A[7,1]=+2S/10-p27
A[7,2]=+2S/10-p26
A[7,3]=+2S/10-p25
A[7,4]=+2S/10-p24
A[7,5]=+2S/10-p23
A[7,6]=+2S/10-p22
A[7,7]=+2S/10-p21
A[7,8]=+2S/10-p20
A[7,9]=+2S/10-p19
A[8,0]=-8S/10+p10+p11+p12+p13+p14+p15+p16+p17+p18
A[8,1]=+2S/10-p18
A[8,2]=+2S/10-p17
A[8,3]=+2S/10-p16
A[8,4]=+2S/10-p15
A[8,5]=+2S/10-p14
A[8,6]=+2S/10-p13
A[8,7]=+2S/10-p12
A[8,8]=+2S/10-p11
A[8,9]=+2S/10-p10
A[9,0]=-8S/10+p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8+p9
A[9,1]=+2S/10-p9
A[9,2]=+2S/10-p8
A[9,3]=+2S/10-p7
A[9,4]=+2S/10-p6
A[9,5]=+2S/10-p5
A[9,6]=+2S/10-p4
A[9,7]=+2S/10-p3
A[9,8]=+2S/10-p2
A[9,9]=+2S/10-p1

Если обнаружите ошибку, то прошу сообщить. Я не успел проверить правильность формул.

[svb]

Ссылка на программу

[svb]

Потерял один параметр при четных $n$.

[svb]

Программу получения формул исправил. Ниже пример

(Оффтоп)

Идеальный квадрат N=6
A[0,0]=+p2
A[0,1]=+p3
A[0,2]=+p4
A[0,3]=+p5
A[0,4]=+p6
A[0,5]=+6S/6-p2-p3-p4-p5-p6
A[1,0]=+p7
A[1,1]=+p8
A[1,2]=+5S/6+p1-p2-2p3-p4+p6-p7-p8
A[1,3]=+7S/6-p1-p2-p3-p4-p7-p8
A[1,4]=-8S/6+2p1+2p2+2p3+2p4+p8
A[1,5]=+2S/6-2p1+p3-p6+p7
A[2,0]=+9S/6-2p2-2p3-p4-2p7-p8
A[2,1]=-4S/6+p1+p2+p3+p4+p6
A[2,2]=-S/6-2p1+p2+2p3-2p6+2p7+p8
A[2,3]=-3S/6+p2+p3+p4-p5-p6+2p7+p8
A[2,4]=+4S/6-p1-p2-p4
A[2,5]=+S/6+2p1-2p3+p5+2p6-2p7-p8
A[3,0]=+S/6-2p1+2p3-p5-2p6+2p7+p8
A[3,1]=-2S/6+p1+p2+p4
A[3,2]=+5S/6-p2-p3-p4+p5+p6-2p7-p8
A[3,3]=+3S/6+2p1-p2-2p3+2p6-2p7-p8
A[3,4]=+6S/6-p1-p2-p3-p4-p6
A[3,5]=-7S/6+2p2+2p3+p4+2p7+p8
A[4,0]=+2p1-p3+p6-p7
A[4,1]=+10S/6-2p1-2p2-2p3-2p4-p8
A[4,2]=-5S/6+p1+p2+p3+p4+p7+p8
A[4,3]=-3S/6-p1+p2+2p3+p4-p6+p7+p8
A[4,4]=+2S/6-p8
A[4,5]=+2S/6-p7
A[5,0]=-4S/6+p2+p3+p4+p5+p6
A[5,1]=+2S/6-p6
A[5,2]=+2S/6-p5
A[5,3]=+2S/6-p4
A[5,4]=+2S/6-p3
A[5,5]=+2S/6-p2

Проверил на квадрате (Алексеев):

103 59 163 233 139 293
229 257 307 131 13 53
283 17 67 173 181 269
61 149 157 263 313 47
277 317 199 23 73 101

[Dmitriy40]

УРА-УРА-УРА!
Из КПППЧ 17537780902038437: 0 6 60 66 126 132 144 150 186 192 204 210 270 276 330 336
найден 3-й пандиагональный квадрат 4-го порядка:

Используется синтаксис Text

17537780902038437       17537780902038629       17537780902038587       17537780902038767
17537780902038647       17537780902038707       17537780902038497       17537780902038569
17537780902038623       17537780902038443       17537780902038773       17537780902038581
17537780902038713       17537780902038641       17537780902038563       17537780902038503
S=70151123608154420
Он же:
17537780902038437+
0       192     150     330
210     270     60      132
186     6       336     144
276     204     126     66
S=672

Из него получается ассоциативный квадрат Стенли 4 порядка из последовательных простых чисел:

Используется синтаксис Text

0       6       144     150
60      66      204     210
126     132     270     276
186     192     330     336

Пока нет 100% уверенности что этот квадрат является следующим за найденным maxal в августе, большой диапазон чисел после $10^{16}$ остался недопроверенным.

PS. Перепроверьте пожалуйста кто-нибудь правильность составления квадратов.