Доказать тождество

[hassword]

Дано $T(k;n)=k\sum_{i=0}^{k-1} {k-1\choose i}{n+i\choose k}$, где $n$ и $k$ целые числа больше нуля.
надо показать почему $T(k;n)=T(n;k)$

[ex-math]

Пусть в Вашей сумме $k>n$, тогда часть слагаемых заведомо будет нулевой. Оставьте только ненулевые, их будет $n$ штук. Потом сделайте снаружи $n$ вместо $k$ и запишите биномиальные коэффициенты через факториалы. Надо будет кое-что перегруппировать и заменить переменную суммирования.

[hassword]

ex-math в сообщении #972715 писал(а):

Пусть в Вашей сумме $k>n$, тогда часть слагаемых заведомо будет нулевой.

Я вот тоже подумал что от этого плясать нужно.

[TOTAL]

hassword в сообщении #972588 писал(а):

Дано $T(k;n)=k\sum_{i=0}^{k-1} {k-1\choose i}{n+i\choose k}$, где $n$ и $k$ целые числа больше нуля.
надо показать почему $T(k;n)=T(n;k)$

$T(k;n)$ - это коэффициент при $x^k$ в

$$k(1+x)^n(1+(1+x))^{k-1}=k(1+x)^n(2+x)^{k-1}, \;\;(n<k)$$

Поэтому осталось показать, что

$$k\sum_{i=0}^{n-1}2^iC^i_{k-1}C^{i+1}_n = n\sum_{i=0}^{n-1}2^iC^i_{n-1}C^{i+1}_k $$

[ex-math]

TOTAL
Красиво. Но оно и напрямую в три строчки доказывается, я выше написал как.