2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать тождество
Сообщение02.02.2015, 17:28 
Дано $T(k;n)=k\sum_{i=0}^{k-1} {k-1\choose i}{n+i\choose k}$, где $n$ и $k$ целые числа больше нуля.
надо показать почему $T(k;n)=T(n;k)$

 
 
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение02.02.2015, 22:44 
Аватара пользователя
Пусть в Вашей сумме $k>n$, тогда часть слагаемых заведомо будет нулевой. Оставьте только ненулевые, их будет $n$ штук. Потом сделайте снаружи $n$ вместо $k$ и запишите биномиальные коэффициенты через факториалы. Надо будет кое-что перегруппировать и заменить переменную суммирования.

 
 
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение03.02.2015, 08:49 
ex-math в сообщении #972715 писал(а):
Пусть в Вашей сумме $k>n$, тогда часть слагаемых заведомо будет нулевой.

Я вот тоже подумал что от этого плясать нужно.

 
 
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение04.02.2015, 06:00 
Аватара пользователя
hassword в сообщении #972588 писал(а):
Дано $T(k;n)=k\sum_{i=0}^{k-1} {k-1\choose i}{n+i\choose k}$, где $n$ и $k$ целые числа больше нуля.
надо показать почему $T(k;n)=T(n;k)$

$T(k;n)$ - это коэффициент при $x^k$ в
$$k(1+x)^n(1+(1+x))^{k-1}=k(1+x)^n(2+x)^{k-1}, \;\;(n<k)$$
Поэтому осталось показать, что
$$k\sum_{i=0}^{n-1}2^iC^i_{k-1}C^{i+1}_n = n\sum_{i=0}^{n-1}2^iC^i_{n-1}C^{i+1}_k $$

 
 
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение04.02.2015, 07:01 
Аватара пользователя
TOTAL
Красиво. Но оно и напрямую в три строчки доказывается, я выше написал как.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group