Как доказать неравенство

[ewert]

NiLi в сообщении #969260 писал(а):

У меня вот что:
$2^\frac{1}{n}>1+\frac{1}{2n}$

А $e^x>1+x$.

mihailm в сообщении #968358 писал(а):

Задача на бином Ньютона.
Надо доказать что $(1+\frac{1}{n})^n<4$

Ну тогда уж скорее не на бином, а на монотонность. Всё равно неэстетично.

[NiLi]

ewert в сообщении #969269 писал(а):

А $e^x>1+x$.

Если так, то понятно. А это $e^x>1+x$ как доказать?

[mihailm]

ewert, не путайте человека, при чем здесь монотонность? Бином, оценка, оценка и результат - все.
Монотонность доказывается через неравенство Коши (ср арифм и ср геом)

[ewert]

mihailm в сообщении #969333 писал(а):

при чем здесь монотонность?

При том, что это часть стандартного доказательства существования этого предела, т.е. числа $e$.

[mihailm]

(Оффтоп)

Нету е, нету! Зачем лишние сущности?

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #969341 писал(а):

Нету е, нету! Зачем лишние сущности?

Так и бинома Ньютона тоже нету. Меньше знаешь -- лучше спишь.

[mihailm]

(Оффтоп)

Тогда надо придумать - задачу-то как решать?

[ewert]

(Оффтоп)

Ну никак без того или иного $e$ не решить. Если через бином, то надо знать, зачем этот бином, да ещё и иметь представление о рядах (иначе не догадаться). Если через монотонность, то надо догадаться оценить через $(1+\frac1n)^{n+1}$, а это тоже почти невозможно, если не знать того доказательства. Куда ни кинь -- всюду клин, потому мне задачка и не нравится.

[mihailm]

(Оффтоп)

Как сейчас модно говорить: "я вас услышал"

[NiLi]

Так что с моим вопросом? $e^x>1+x$ как доказать?

[provincialka]

Взять книжку по матану. Неужели эту скукоту тут повторять?

[mihailm]

Через производную, бином тут не потянет)

[ewert]

mihailm в сообщении #969428 писал(а):

Через производную

Достаточно 2-го замечательного предела + выпуклости экспоненты.

[mihailm]

Точно, а выпуклость через вторую производную определим)

[ewert]

mihailm в сообщении #969444 писал(а):

а выпуклость через вторую производную определим)

Наоборот: выпуклость нужна для доказательства существования у экспоненты первой производной.