топологический вопрос

[Руст]

Этот пример легко обобщается. Рассмотрим группу $SO(n)$ и некоторую подгруппу перестановок симметричной подгруппы, переставляющей базисные элементы, являющиеся ортогональными преобразованиями. Соответственно получится, что любая конечная группа может реализоваться как фундаментальная группа некоторого многообразия.

[Юстас]

Интересное обобщение, наверное в алгебраической топологии это известный факт.

[Руст]

Возможно известно.
Некоторое уточнение: для нахождения многообразия с заданной фундаментальной группой G из n элементов, может потребоваться вложение в $SO(n+k)$ (k=0 или 1 или 2), так как нечётные перестановки при k=0 при таком вложении имеют определитель (-1). Но это уже детали.

[ИгорЪ]

Я тут недавно вляпался в фундаментальную группу и таки знаю простейший пример с некоммутативным случаем, это - плоскость с двумя дырками. Свободная группа с двумя образующими. А вот почему она некоммутативна я не могу объяснить, может кто нарисует почему негомотопны петли АВ и ВА? Кстати, еще там была вроде теорема, что любая(свободная?) дискретная группа есть фундаментальная группа некоторого многообразия.

[Ivan Feshchenko]

Есть известный факт: всякая группа, задаваемая конечным набором образующих и соотношений, является фундаментальной группой некоторого 4-мерного замкнутого (компактного и без края) многообразия.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #966980 писал(а):

Я тут недавно вляпался в фундаментальную группу и таки знаю простейший пример с некоммутативным случаем, это - плоскость с двумя дырками. Свободная группа с двумя образующими. А вот почему она некоммутативна я не могу объяснить, может кто нарисует почему негомотопны петли АВ и ВА?

Возьмите плоскость с тремя дырками.

[Dmitry Tkachenko]

Рассмотрим топологическое пространство $X.$ Возьмём абеленизацию $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}$ его фундаментальной группы. Можно доказать, что одномерная группа гомологий $H_1(X)$ изоморфна $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}.$

Предлагаю попробовать найти $X$ с конечной одномерной группой гомологий, чтобы $H_1(X) \cong \pi(X,x_0).$

Наверное, $\mathbb{R}P^2$ подходит. Интересно, таких $X$ много?

[Terran]

Dmitry Tkachenko в сообщении #974146 писал(а):

Рассмотрим топологическое пространство $X.$ Возьмём абеленизацию $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}$ его фундаментальной группы. Можно доказать, что одномерная группа гомологий $H_1(X)$ изоморфна $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}.$

Предлагаю попробовать найти $X$ с конечной одномерной группой гомологий, чтобы $H_1(X) \cong \pi(X,x_0).$

Наверное, $\mathbb{R}P^2$ подходит. Интересно, таких $X$ много?

Да, любое пространство с конечной коммутативной фундаментальной группой.