Действительные корни многочлена

[Severna]

Помогите пожалуйста
Как доказать, что если все корни многочлена с действительными коэффициентами действительны, то все производные этого многочлена также имеют лишь действительные корни?

[provincialka]

Посмотрите на график. Чему соответствуют корни производной?

[ewert]

Дли начала попытайтесь доказать утверждение для случая, когда все корни не только вещественные, но и простые. Потом обобщите доказательство на случай наличия кратных корней.

-- Вт янв 20, 2015 14:25:16 --

provincialka в сообщении #965476 писал(а):

Посмотрите на график.

Зачем? График уже поглощён соотв. теоремой.

[provincialka]

График, конечно, не нужен. Так, для наведения на мысль... Чтобы не называть сразу теорему.

[Severna]

Корни производной - перегибы графика? Но меня это не навело на мысль. Можете напомнить теорему?

[provincialka]

Severna в сообщении #965492 писал(а):

Корни производной - перегибы графика?

Разве? Вы со второй производной не путаете?

[ewert]

Severna в сообщении #965492 писал(а):

Можете напомнить теорему?

В ней прямым текстом связывается расположение корней производной (хотя бы некоторых) с расположением корней функции (любой дифференцируемой). И у неё есть даже фамилия.

[Severna]

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак?

[Ms-dos4]

Severna
Скажите, между двумя действительными нулями многочлена есть ЧТО?

[Severna]

Точка, в которой производная равна 0?

[Ms-dos4]

Severna
Ну да, там будет экстремум. Значит между каждыми двумя нулями многочлена есть... Ну далее совсем просто (фактически всё уже сказано)

[provincialka]

(Оффтоп)

Ролль.

[Severna]

Корни производной?

-- 20.01.2015, 17:59 --

А как это помогает? Я не совсем понимаю(

[provincialka]

Severna в сообщении #965512 писал(а):

Корни производной?

Вот на такое сообщение полагалось бы пожаловаться, как на бессмысленное. Хоть бы какое-никакое сказуемое написали. А так да, они.
Теперь учтите это:

ewert в сообщении #965477 писал(а):

Дли начала попытайтесь доказать утверждение для случая, когда все корни не только вещественные, но и простые. Потом обобщите доказательство на случай наличия кратных корней.

[Ms-dos4]

Severna
Ооох. Если корней многочлена (т.е. нулей) $\[n\]$, а учитывая, что между каждыми двумя нулями лежит нуль производной, то сколько нулей производной всего? (кратных корней нет)

-- Вт янв 20, 2015 14:02:29 --

provincialka
Да я и пытаюсь ему сначала простой случай "вдолбать", наглядно причём.