2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Гурса
Сообщение19.01.2015, 13:32 


05/01/15
25
Есть задача Гурса, которую надо решить:
$u_x_x-u_y_y+\frac{4}{x} u_x + \frac{2}{x^2} u=0$
$u|_y_=_x=1$
$u|_x_=_1=y$
$y>x, x>1$

Заменой $\xi=x-y$ и $\eta=x+y$ привёл её к виду
$u_\xi_\eta+\frac{2}{\xi+\eta}(u_\xi+u_\eta)+\frac{2}{(\xi+\eta)^2}u=0$
$u|_\xi_=_0=1$
$u|_\xi_+_\eta_=_2=\frac{\eta-\xi}{2}$
$\xi<0, \xi+\eta>2$

Опять получились начальные условия на прямых, одна из которых направлена не по оси. Во всех примерах, которые я видел в учебниках, в википедии и в семинарах, везде заданы граничные условия на осях x и y или параллельных им прямых.

В учебнике Владимирова делают замену $v=u_x$ и $w=u_y$, всё остальное переносят в правую часть, а потом интегрируют. Но я не могу сообразить, как интегрировать в моём случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Гурса
Сообщение19.01.2015, 13:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
Как Вы правильно заметили, это не задача Гурса, а нечто другое. Прежде чем менять переменные ($\xi,\eta=$? Мы не ясновидящие ) умножьте уравнение на $x^2$ и выведите волновое уравнение для $x^2u$, затем найдите его общее решение и подставьте в граничные условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Гурса
Сообщение19.01.2015, 13:58 


05/01/15
25
Но в задачнике перед условием задачи пишут "требуется найти решение поставленной задачи Гурса и доказать единственность этого решения".

Правка:
Кстати да, посмотрел в ответ, там написано указание сделать замену $u=\frac{v}{x^2}$. Попробую...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Гурса
Сообщение19.01.2015, 14:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
А это с Вы спрашивайте у автора

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Гурса
Сообщение19.01.2015, 15:12 


05/01/15
25
В общем, задачу решил. Получилось u=y/x, с ответом сходится. Оказалось легко, но сам бы я вряд ли заметил, что заменой $v=\frac{u}{x^2}$ оно сводится к простейшему волновому уравнению без всяких неоднородностей. Назвав эту задачу задачей Гурса меня сбили с толку и я искал решение не там, где надо.

Спасибо Вам большое за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group