2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение02.01.2015, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20533
Уфа
Хм, что-то не припомню в той одной CAS упомянутые issues с кванторами, конкретно с Арктангенсом.

-- Сб янв 03, 2015 01:17:53 --

Если уж так надо точности в работе с многозначными функциями, остаётся писать только$$\forall\alpha\in\mathbb R\mathrel. \operatorname{Arctg}(\tg\alpha) = \{\alpha + \pi n : n\in\mathbb Z\}$$либо$$\forall\alpha\in\mathbb R\mathrel. \forall n\in\mathbb Z\mathrel. \operatorname{Arctg}(\tg\alpha) \ni \alpha + \pi n$$(но это утверждение слабее и явно не имелось в виду).

По таким записям сразу видно, что было не так с квантором по $n$ — это и не квантор вовсе! (Если записать всё без синтаксического сахара $\{\}$, получится третья формула, тоже непохожая на исходную, потому что $\{f(a) : a\in A\} = \{t : \exists a\in A\mathrel. t = f(a)\}$.)

-- Сб янв 03, 2015 01:19:18 --

Как можно отсюда видеть, в той формуле будет квантор $\exists n\in\mathbb Z$, и никак не $\forall$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение06.01.2015, 02:46 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение15.01.2015, 05:51 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, в продолжение темы:
Вопрос 4.
Верно ли равенство? $$ \forall \alpha \in \mathbb R \colon \operatorname{Arccos} ( \cos \alpha ) = \{ \pm \alpha + 2 \pi n \colon n \in \mathbb Z \} $$
Вопрос 5.
Верно ли определение? $$\alpha := \arcctg a \iff \begin{cases} \alpha \in (0; \pi) \\ \ctg \alpha = a \end{cases} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение15.01.2015, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20533
Уфа
Должны быть. Только определение, хоть и правильно как формула, «размечено» двоеточием неправильно — уж либо это должно быть $\arcctg a := \text{терм}$, либо $\text{формула}_1 :\Leftrightarrow \text{формула}_2$. А вообще определение, конечно, может и не содержать $\Leftrightarrow$*, но тогда двоеточечная запись не получится.

* Если доказуема формула $\exists!y\mathrel.A$ со свободными переменными $x_1,\ldots,x_n$, то можно ввести новый $n$-местный функциональный символ $f$ и аксиому-определение $A[f(x_1,\ldots,x_n)/y]$ (игрек заменяется в $A$ на указанный терм). Например, мы можем ввести двуместную операцию вычитания куда-то, где уже есть коммутативное обратимое сложение. Доказав, что $\exists!z\mathrel.x + z = y$, можем определить вычитание аксиомой $x + (y - x) = y$; это будет вполне нормально, но двоеточие по смыслу поставить некуда.

Если что, не помню, видели ли вы уже это…

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение16.01.2015, 08:01 
Аватара пользователя


20/06/14
236
arseniiv, спасибо. Я, пожалуй, буду использовать " $:\Leftrightarrow$ "

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group