2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 15:52 


21/07/09
228
А откуда следует такое "правило на пальцах"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 15:53 


10/02/11
6786
maxmatem в сообщении #960573 писал(а):
интеграл приведенный Вами выше , будет инвариантным?

ну а как по-вашему, здравому смыслу потоk векторного поля через поверхность это инвариантная величина или нет?
Munin в сообщении #960569 писал(а):
Если не скалярная - то это не будет инвариант.

а вот мы тут некоторое время назад тензор напряжений обсуждали...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань

(Оффтоп)

Munin в сообщении #960569 писал(а):
Не зря я сунул нос в математическую тему...

Мы на ВМК до теории поля в матане вообще не доходим. Нужны другие математики, механико- или физико-ориенитрованные

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63026
Oleg Zubelevich в сообщении #960578 писал(а):
а вот мы тут некоторое время назад тензор напряжений обсуждали...

Ох, извините, не помню в чём там дело было...

volchenok в сообщении #960576 писал(а):
А откуда следует такое "правило на пальцах"?

Грубо говоря, для того, чтобы интегрировать нескалярную величину, её надо как-то переносить с одного места на другое в пространстве. Да любую величину. Вот вы проинтегрировали один кусочек, проинтегрировали другой, теперь их надо между собой сложить. Для этого, мы тащим их в одно место, и там складываем. $\int\limits_{A+B}=\int\limits_{A}+\int\limits_{B}.$

Но вот тут-то и лежит подстава! Переносить величины с одного места в другое - можно только в плоском пространстве, и хорошо бы в декартовой системе координат (в других тоже можно, но весьма трудоёмко). Единственная величина, которая от этого не страдает - это скаляр. Вот скаляры и можно легко инвариантно интегрировать. А векторы, тензоры и т. п. - разве что с большими оглядками.

И кстати, даже со скалярами вас может поджидать ловушка. Есть величина, не являющаяся ни вектором, ни чем-то более сложным, одно число - но не скаляр! Это плотность. Это скаляр, поделенный на объём. (На самом деле, целая серия плотностей, в зависимости от степени объёма.) Вот её тоже нельзя инвариантно интегрировать, потому что элемент объёма в разных системах координат тоже меняется. Точнее, если интеграл имеет вид $\int f\,dV,$ то $f$ как раз должна быть именно плотностью, чтобы тогда произведение $f\,dV$ оказалось не плотностью, а чистым скаляром.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 16:35 


10/02/11
6786
дело было в том, что сила ,действующая на поверхность $S$ объема сплошной среды вычисляется по формуле $\overline F=\int_Sp_i^jn^i\overline e_jds$ т.е. как раз интеграл от векторного поля и, конечно, он инвариантен

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63026
Если вы ещё напомните смысл всех букв, будет совсем замечательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 17:35 


10/02/11
6786
$p_i^j$ -- тензор напряжений; $n^i$ -- нормаь к поверхности $S$; $\overline e_i$ -- базисное векторное поле в объеме сплошной среды

-- Пн янв 12, 2015 17:37:20 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875652 писал(а):
да, это принципиальное замечание, должен быть такой текст:

Постулируем, что сила, действующая на любую часть $\Sigma\subseteq\partial W$со стороны объемлющей (внешней по отношению к $W$) среды, вычисляется с помощью тензора $p^{ij}(x),\quad x\in D$ по формуле
$$F=\int_{\Sigma}p^{ij}\sqrt g\epsilon_{jkn}e_i\otimes dx^k\otimes dx^n$$ $$=\int_{\Sigma}\sqrt ge_i\otimes \big(p^{i1} dx^2\wedge dx^3+p^{i2} dx^3\wedge dx^1+p^{i3} dx^1\wedge dx^2\big).$$
Причем ориентация $\Sigma$ согласована с ориентацией $W$.

По-моему это только проявляет аксиальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63026
Oleg Zubelevich в сообщении #960652 писал(а):
$\overline e_i$ -- базисное векторное поле в объеме сплошной среды

У-у-у, вот тут собака неинвариантность и зарыта...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение12.01.2015, 18:04 


10/02/11
6786
а какая может быть неинвариантность , когда это формула для вычисления силы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение14.01.2015, 12:13 


21/07/09
228
а как же интеграл от вектора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от вектора
Сообщение14.01.2015, 21:36 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
volchenok в сообщении #961893 писал(а):
а как же интеграл от вектора?


Попробуйте упростить задачу. Пусть вектора нет. Пусть требуется найти площадь поверхности сферы. Пусть даже длину окружности $x^2+y^2=1$. И тут мы вводим замену $x'=2x,y'=2y$. Изменится при этом длина окружности? Понятно, что длина окружности будет инвариант. Но вот запись этого инварианта в других координатах будет другой (хотя запись этого инварианта от координат и не зависит).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group