2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение11.01.2015, 01:26 
Аватара пользователя


01/12/11
6005
а) Можно ли расставить на рёбрах куба 12 последовательных натуральных чисел так, чтобы сумма чисел на любых трёх рёбрах, имеющих общую вершину, была степенью двойки с натуральным показателем?

б) Тот же вопрос, но про 12 последовательных целых чисел.

Я думаю, что в пункте а) ответ отрицателен. Чтобы доказать это, сложим суммы при каждой из вершин. Так как каждое ребро мы посчитали дважды, у нас получится удвоенная сумма 12 последовательных натуральных чисел. Такая сумма обязана давать остаток 4 при делении на 8. С другой стороны, эта же сумма является суммой восьми степеней двойки, каждая из которых больше 4 (так как все числа натуральные!). Такая сумма очевидно делится на 8.
Мы пришли к противоречию.

В пункте б) нам уже не удастся воспользоваться тем, что все числа натуральные, поэтому...
Пожалуйста, помогите решить. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение12.01.2015, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1717
Ktina,
в случае б) ответ положительный.
Пример: расставим числа от $-3$ до 8 следующим образом
$-3$ на ребре $AB$
$-2$ на ребре $AA_1$
$-1$ на ребре $BC$
$0$ на ребре $CD$
$1$ на ребре $DD_1$
$2$ на ребре $A_1B_1$
$3$ на ребре $C_1D_1$
$4$ на ребре $A_1D_1$
$5$ на ребре $CC_1$
$6$ на ребре $BB_1$
$7$ на ребре $AD$
$8$ на ребре $B_1C_1$

P.S. "Теоретического исследования" я не проводил. Просто подобрал решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 00:25 
Аватара пользователя


01/12/11
6005
Mihr
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1717
Ktina,
и Вам спасибо за задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 10:55 


26/08/11
1659

(Оффтоп)

И Вам спасибо за Ваше "спасибо" и за всех последующих "спасибо" с Вашей стороны. А то зациклимся

 Профиль  
                  
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1717

(Оффтоп)

Shadow,
Спасибо и Вам за уместное замечание.
Так что "цикл" почти неизбежен. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group