2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 11:47 


27/06/13
36
Здравствуйте! Задали такую задачу - есть две независимые случайные величины, одна из них стандартная нормальная. Доказать, что их сумма имеет плотность распределения.
Что-то совсем нет идей( Нужно рассмотреть все варианты типов распределения второй с.в. или можно доказать сразу для всех типов?
Помогите пожалуйста разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Было недавно. На самом деле, неважно, что одна из величин нормальная - достаточно, чтобы она имела хоть какую-то плотность, тогда и сумма её имеет.

-- менее минуты назад --

Что-то никак не найду ту тему. Кто-нибудь помнит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 13:02 


27/06/13
36
Вы имеете в виду не эту тему? Или была тема с точно таким же вопросом?
Я нашел для своей задачи в учебнике Черновой указания, как доказывать для дискретных и абс.непрерывных (правда, до конца еще не разобрался), но с сингулярными и смешанными не знаю как работать. Или есть способ доказательства, где не важен тип распределения второй с.в.?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2443
Физтех
brat2 в сообщении #952003 писал(а):
Или есть способ доказательства, где не важен тип распределения второй с.в.?

Конечно, можно воспользоваться аппаратом характеристических функций. Вспомните два факта:

1. Чему равна характеристическая функция суммы независимых случайных величин;
2. Как связана интегрируемость характеристической функции с плотностью распределения случайной величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 16:46 


27/06/13
36
Спасибо. Тоже сначала думал в эту сторону, но быстро там застрял, т.к. не знаю, как считать полученный интеграл:
1) Она равна произведению их х.ф. 2) С.в. имеет плотность если модуль х.ф. интегрируем
Х.ф. ст.норм равна $$e^{\frac{-t^2}{2}}$$. Х.ф. второй как комплексную запишем как $$re(t) + im(t)i$$
Тогда, чтобы сумма имела плотность, должен существовать интеграл $$\int_{R}{e^\frac{-t^2}{2}\sqrt{im(t)^2+re(t)^2}dt}$$
Правильно ли я понял до этого? И если да, не подскажете, как считать такой интеграл или доказывать что он существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 19:03 


27/06/13
36
Простите, никто не отвечает п.ч. это слишком простой интеграл или у меня неверное рассуждение ещё до него?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 22:13 


27/06/13
36
Да, точно, произведение интегрируемой и ограниченной ведь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение25.12.2014, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
brat2 в сообщении #952003 писал(а):
Или есть способ доказательства, где не важен тип распределения второй с.в.?

Разумеется. Интеграл Лебега - Стилтьеса Вам знаком? Запишите формулу свертки для функции распределения суммы через две функции распределения, внутреннюю замените на интеграл от плотности и проделайте то же самое, что делается при получении формулы свёртки для плотностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение26.12.2014, 00:47 


27/06/13
36
--mS-- в сообщении #952362 писал(а):
Разумеется. Интеграл Лебега - Стилтьеса Вам знаком? Запишите формулу свертки для функции распределения суммы через две функции распределения, внутреннюю замените на интеграл от плотности и проделайте то же самое, что делается при получении формулы свёртки для плотностей.


Спасибо, но наверное не смогу так (интеграл не знаком и ф-лу свертки мы проходили только для случая, когда обе абс.непрерывны)
Думаю, учитель имел в виду всё же то более простое (технически) решение, которое я записал выше (модуль хар.функции суммы есть произведение интегрируемой и ограниченной функции, а значит интегрируем и сумма абс.непрерывна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение26.12.2014, 06:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Судя по тому, что вторая нормальна, а нормальным как раз и принято сглаживать распределения ото всех неприятностей, именно характеристические функции и имелись в виду, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение06.01.2015, 18:51 


27/06/13
36
Простите за поднятие темы , но учитель задал ещё доказать это свойство - если модуль х.ф. случайной величины интегрируем , то она имеет плотность.
В учебнике без доказательства, смотрел свойства преобразования Фурье, но мало понял к сожалению( Не подскажете, в какую сторону нужно здесь смотреть? (в матанализе много пробелов к сожалению)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность
Сообщение10.01.2015, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2443
Физтех
brat2
Смотрите в книге Ширяева "Вероятность" теорему 3 (формула обращения) на стр. 301. Доказательство нужного Вам факта находится на стр. 304 и опирается на теорему о мажорируемой сходимости, теорему Фубини и формулу обращения.

Если же мы знаем, что существует плотность $f(x)$ случайной величины, а х.ф. $\varphi(t)$ абсолютно интегрируема, то плотность вычисляется по известной формуле
$$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\exp{(-i x t)}\varphi(t) dt}.$$ Этот факт довольно известен в анализе. Кстати говоря, в книге Боровкова "Теория вероятностей" формула обращения как раз доказывается, опираясь на вышеприведенное выражение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group