Shimmy

[Munin]

Можно ввести близость не только точек, но и их первых производных, вторых производных и так далее - лестницу понятий до бесконечности.

[Утундрий]

Почему сразу извращение? Предположим, мне интересно знать насколько близки именно траектории и абсолютно по барабану как там колбасится изохронное расстояние промежду невозмущённой и возмущённой планетами.

[Munin]

Утундрий в сообщении #958703 писал(а):

Предположим, мне интересно знать насколько близки именно траектории

Ну да, вот поэтому и извращение. Потому что вы хотели посмотреть, насколько близки траектории (линии), а получилось посмотреть, насколько близки россыпи точек. От "траекторности" там почти ничего не осталось.

-- 08.01.2015 19:25:23 --

Ещё пример: $f(x_1,x_2,x_3)=(-x_2,x_1,x_1^2+x_2^2),\quad f(0,0,x_3)=(0,0,1),$ и окрестность решения $y(0)=(0,0,0).$ Надуманный, но тоже показывающий контринтуитивность определения.

[мат-ламер]

amon в сообщении #957615 писал(а):

При приеме в аспирантуру теоретиков у нас происходит некоторое неформальное собеседование-экзамен. Любимые вопросы - про всякие неустойчивости, типа: "Почему вода выливается из бутылки?",

amon в сообщении #958341 писал(а):

Нет, с формулами, пожалуйста! (В теоретики идете ;)

На бытовом интуитивном уровне задача понятна. Т.е., если на поверхности раздела воды и воздуха в горлышке возникнет где-то выпуклость воды вниз и выпуклость воздуха вверх, то это возмущение должно увеличиваться, поскольку такое увеличение энергетически выгодно, поскольку вода тяжелее воздуха. Но вот как описать это формулами, если допустим надо точно найти, как будет эволюционировать во времени поверхность раздела воздуха и воды, то я тут пас. И не факт, что есть аналитическое решение. Повидимому надо на компьютере решать.

[amon]

мат-ламер в сообщении #958751 писал(а):

Повидимому надо на компьютере решать.

Решение есть на школьном уровне. Это тот редкий случай, когда оценка из соображений размерности дает точное решение.

[g______d]

Munin в сообщении #958714 писал(а):

Ну да, вот поэтому и извращение. Потому что вы хотели посмотреть, насколько близки траектории (линии), а получилось посмотреть, насколько близки россыпи точек. От "траекторности" там почти ничего не осталось.

Проблема в том, что на бесконечном интервале времени устойчивость по Ляпунову для решения, не являющегося константой, -- это нечто невозможное. В частности, если исходное решение периодическое, то нужно, чтобы период в точности сохранялся при малом изменении начальных условий в любом направлении (иначе ошибка будет накапливаться). Много Вы можете представить себе таких систем? Я ни одной.

-- Чт, 08 янв 2015 11:58:15 --

Oleg Zubelevich в сообщении #958400 писал(а):

Ваше мнение я обсуждать не буду, приведенное определение содержится в учебнике Демидовича по теории устойчивости, у Кодингтона Левинсона и т.д.

Я серьёзно не понимаю, зачем оно там приведено отдельно от орбитальной устойчивости. Как пример бессмысленного определения? Мне кажется, что в хорошем учебнике должно быть написано что-то вроде "если мы разрешим непостоянную траекторию, но запретим перепараметризацию, то такое определение можно ввести, но смысла оно не имеет". Ну или я чего-то не понимаю.

[Oleg Zubelevich]

далась Вам эта непостоянная траектория, замену сделайте $x=\tilde x+y(t)$

[Munin]

g______d в сообщении #958804 писал(а):

Проблема в том, что на бесконечном интервале времени устойчивость по Ляпунову для решения, не являющегося константой, -- это нечто невозможное. В частности, если исходное решение периодическое, то нужно, чтобы период в точности сохранялся при малом изменении начальных условий в любом направлении (иначе ошибка будет накапливаться). Много Вы можете представить себе таких систем? Я ни одной.

Ну, можно как раз для периодических систем сделать оговорку типа "за период".

А чем мне приведённое понятие не нравится, и как его можно было бы "допилить", я примерно рассказал уже. Впрочем, смотря для чего, а проблематика в этой области мне неизвестна.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #958821 писал(а):

далась Вам эта непостоянная траектория, замену сделайте $x=\tilde x+y(t)$

А, наконец-то я понял хоть пример. Есть Солнце, вокруг него вращается точечная Земля с атмосферой, на неё падает точечный спутник. Ну или как-то так. Да, теперь понял, кажется.

[Oleg Zubelevich]

указанная замена превращает "решение, не являющиеся константой" в тождественно нулевое

орбитальная устойчивость вытекает из устойчивости по Ляпунову

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #958850 писал(а):

орбитальная устойчивость вытекает из устойчивости по Ляпунову

Я к тому, что понятие устойчивости по Ляпунову слишком сильное. Например, часто ли оно бывает в гамильтоновых системах?

[Oleg Zubelevich]

представьте себе типичный фазовый портрет симплектического отображения $T:D\to D,\quad D\subset\mathbb{R}^2$ близкого к интегрируемому. Там куча устойчивых по Ляпунову периодических решений разного периода.

[g______d]

А можно подробнее, пожалуйста?

[Oleg Zubelevich]

Подробностей много. Очень коротко если, то картина следующая. При малом возмущении интегрируемого отображения (в условиях КАМ теории) резонансные торы распадаются на периодические решения некоторые из этих решений окружены большим количеством торов и потому устойчивы по Ляпунову. Асимптотические поверхности ращепляются, в лунках между ращепившимеся сепаратрисами живут долгоиграющие устойчивые по Ляпунову периодические решения (Трещев). Рядом с ращепившимися сепаратрисами живут устойчивые периодические решения (Довбыш).


на картинке ожерелье из овалов образовалось на месте резонансного тора, который развалился. Внутри овалов имеются периодические траектории -- устойчивые по Ляпунову. Сами овалы ограничены расщепившимися сепаратрисами, которые растут из гиперболических периодических решений образовавшихся на месте тора, между сепаратрисами образуются лунки с устойчивыми решениями. И так это все повторяется на разных масштабах по параметру возмущения..

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #958955 писал(а):

нутри овалов имеются периодические траектории -- устойчивые по ляпунову.

Там именно устойчивость по Ляпунову, а не просто орбитальная устойчивость? Мне кажется удивительным, что все траектории в окрестности некоторой периодической траектории имеют одинаковый период.