2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гауссова кривизна
Сообщение04.01.2015, 13:34 
Аватара пользователя


13/08/13
2640
Рассчитать интеграл от Гауссовой кривизны по поверхности(без краев) $z=9-x^2-y^2$ ее отрезает плоскость $z=0$, берем верхнюю часть
это моя задача, которую я придумал и счел олимпиадной
вам надо ее решить
ну вот, можно достроить нашу поверхность до конуса, его гауссова кривизна будет равна нулю, на склейке(сплайне) будет хевисайдообразный скачек, и теперь если мы рассмотрим контур, лежащий на конусе, и найдет интеграл от гауссовой кривизны, то он будет равен интегралу от гауссовой кривизны на поверхности нашей фигуры
И теперь главное, поворот вектора, параллельно перенесенного по замкнутому контуру, равен интегралу от гауссовой кривизны по поверхности, заключенной в этом контуре(ну там с учетом ориентации и знака)
На конусе делать параллельный перенос легко, ибо он разворачивается в часть плоскости, и в итоге, после всего проделанного получается значение интеграла$-\frac{2\pi}{\sqrt{37}}$
И в принципе , если взять окружность, и поставить граничное условие, чтобы конец поверхности на окружности имел с ней одинаковый угол, тк чтобы можно было достроить конус, то тогда форма поверхности вообще не важна, интеграл будет один и тот же :-)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.01.2015, 13:45 
Модератор


20/03/14
6843
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.01.2015, 01:27 
Модератор


20/03/14
6843
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


-- 05.01.2015, 03:28 --

Sicker в сообщении #956173 писал(а):
вам надо ее решить

Не, это Вам надо ее решить. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6108
Hogtown
Посчитать гауссову кривизну поверхности вращение нетрудно. Но я предложу другое решение, хотя и неправильное, но которое можно подправить (и из педагогических соображений оставляю это Вам).

Известно что если у нас кривая $L$ ограничивает односвязную область, то интеграл вдоль кривой от кривизны равен $2\pi$.

Аналогично, если поверхность $S$ ограничивает область диффеоморфную шару то интеграл от Гауссовой кривизны по $S$ будет $4\pi$
Цитата:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss–Bonnet_theorem


Давайте составим поверхность из того, что у нас есть и зеркально симметричной относительно той самой плоскости. Тогда интеграл будет $4\pi$, но надо разделить на 2, т.е. $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6219
Red_Herring в сообщении #956577 писал(а):
область диффеоморфную шару

А разве эйлерова характеристика не топологический инвариант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:07 
Аватара пользователя


13/08/13
2640
Red_Herring в сообщении #956577 писал(а):
Давайте составим поверхность из того, что у нас есть и зеркально симметричной относительно той самой плоскости

только у нас будет скачек первой производной при отражении :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6219
Sicker
Вы ссылочку-то почитайте. Можно на русском.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:15 
Аватара пользователя


13/08/13
2640
да я как раз читаю, только там непонятно написано про эйлерову характеристику, можно как нибудь объяснить, что это такое? :roll:

-- 05.01.2015, 02:17 --

Red_Herring
а теперь примените ваши рассуждения для шарового сегмента, ведь его же гауссова кривизна зависит от широты?

-- 05.01.2015, 02:21 --

кажется вы забыли геодезическую кривизну границы, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6108
Hogtown
Можно ссылочку почитать, а можно и сжульничать. Например вставив между поверхностями кусок сферы чтобы все сгладить

(Оффтоп)

Я же честно сознался, что вру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6219
Sicker в сообщении #956587 писал(а):
а теперь примените ваши рассуждения для шарового сегмента, ведь его же гауссова кривизна зависит от широты?

не путайте гауссову кривизну многообразия с гауссовой кривизной в точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:24 
Аватара пользователя


13/08/13
2640
Otta в сообщении #956591 писал(а):
не путайте гауссову кривизну многообразия с гауссовой кривизной в точке.

я как раз говорю про гауссову кривизну многообразия, ведь сегменты можно разной площади брать, а тк гауссова кривизна в точку постоянна, то гауссова кривизна сегмента пропорциональна площади :mrgreen:
вот Red_Herring написал

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6219
Sicker в сообщении #956587 писал(а):
кажется вы забыли геодезическую кривизну границы, не?

А какие там проблемы с геодезической кривизной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6108
Hogtown
Речь, идет конечно, не о границе, а о ребре между двумя параболоидами. Но, как я писал с ребром можно бороться

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 02:32 
Аватара пользователя


13/08/13
2640
Otta
ну если мы отражаем нашу поверхность, то посередине будет скачек первой производной, те гауссова кривизна примет дельтообразный характер, и суммарная гауссова кривизна получившейся поверхности будет удвоенная начальная плюс небольшой коллапс на границе(на ребре)
Вот Red_Herring и предложил посередине еще вставить кусок сферы, чтобы не было скачка первой производной, те гауссовой кривизны в точке, и тогда гауссова кривизна нашей поверхности будет половина от $4\pi$ минус гауссова кривизна части сферы(вставленной)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гауссова кривизна
Сообщение05.01.2015, 03:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6219
Sicker
Ну дело Ваше, там интеграл от геодезической кривизны считается как нефиг делать. Хотя, конечно, можно по-всякому.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group