Гауссова кривизна

[Sicker]

Рассчитать интеграл от Гауссовой кривизны по поверхности(без краев) $z=9-x^2-y^2$ ее отрезает плоскость $z=0$, берем верхнюю часть
это моя задача, которую я придумал и счел олимпиадной
вам надо ее решить
ну вот, можно достроить нашу поверхность до конуса, его гауссова кривизна будет равна нулю, на склейке(сплайне) будет хевисайдообразный скачек, и теперь если мы рассмотрим контур, лежащий на конусе, и найдет интеграл от гауссовой кривизны, то он будет равен интегралу от гауссовой кривизны на поверхности нашей фигуры
И теперь главное, поворот вектора, параллельно перенесенного по замкнутому контуру, равен интегралу от гауссовой кривизны по поверхности, заключенной в этом контуре(ну там с учетом ориентации и знака)
На конусе делать параллельный перенос легко, ибо он разворачивается в часть плоскости, и в итоге, после всего проделанного получается значение интеграла$-\frac{2\pi}{\sqrt{37}}$
И в принципе , если взять окружность, и поставить граничное условие, чтобы конец поверхности на окружности имел с ней одинаковый угол, тк чтобы можно было достроить конус, то тогда форма поверхности вообще не важна, интеграл будет один и тот же

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 05.01.2015, 03:28 --

Sicker в сообщении #956173 писал(а):

вам надо ее решить

Не, это Вам надо ее решить.

[Red_Herring]

Посчитать гауссову кривизну поверхности вращение нетрудно. Но я предложу другое решение, хотя и неправильное, но которое можно подправить (и из педагогических соображений оставляю это Вам).

Известно что если у нас кривая $L$ ограничивает односвязную область, то интеграл вдоль кривой от кривизны равен $2\pi$.

Аналогично, если поверхность $S$ ограничивает область диффеоморфную шару то интеграл от Гауссовой кривизны по $S$ будет $4\pi$

Цитата:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss–Bonnet_theorem

Давайте составим поверхность из того, что у нас есть и зеркально симметричной относительно той самой плоскости. Тогда интеграл будет $4\pi$, но надо разделить на 2, т.е. $2\pi$.

[Otta]

Red_Herring в сообщении #956577 писал(а):

область диффеоморфную шару

А разве эйлерова характеристика не топологический инвариант?

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #956577 писал(а):

Давайте составим поверхность из того, что у нас есть и зеркально симметричной относительно той самой плоскости

только у нас будет скачек первой производной при отражении

[Otta]

Sicker
Вы ссылочку-то почитайте. Можно на русском.

[Sicker]

да я как раз читаю, только там непонятно написано про эйлерову характеристику, можно как нибудь объяснить, что это такое?

-- 05.01.2015, 02:17 --

Red_Herring
а теперь примените ваши рассуждения для шарового сегмента, ведь его же гауссова кривизна зависит от широты?

-- 05.01.2015, 02:21 --

кажется вы забыли геодезическую кривизну границы, не?

[Red_Herring]

Можно ссылочку почитать, а можно и сжульничать. Например вставив между поверхностями кусок сферы чтобы все сгладить

(Оффтоп)

Я же честно сознался, что вру.

[Otta]

Sicker в сообщении #956587 писал(а):

а теперь примените ваши рассуждения для шарового сегмента, ведь его же гауссова кривизна зависит от широты?

не путайте гауссову кривизну многообразия с гауссовой кривизной в точке.

[Sicker]

Otta в сообщении #956591 писал(а):

не путайте гауссову кривизну многообразия с гауссовой кривизной в точке.

я как раз говорю про гауссову кривизну многообразия, ведь сегменты можно разной площади брать, а тк гауссова кривизна в точку постоянна, то гауссова кривизна сегмента пропорциональна площади
вот Red_Herring написал

[Otta]

Sicker в сообщении #956587 писал(а):

кажется вы забыли геодезическую кривизну границы, не?

А какие там проблемы с геодезической кривизной?

[Red_Herring]

Речь, идет конечно, не о границе, а о ребре между двумя параболоидами. Но, как я писал с ребром можно бороться

[Sicker]

Otta
ну если мы отражаем нашу поверхность, то посередине будет скачек первой производной, те гауссова кривизна примет дельтообразный характер, и суммарная гауссова кривизна получившейся поверхности будет удвоенная начальная плюс небольшой коллапс на границе(на ребре)
Вот Red_Herring и предложил посередине еще вставить кусок сферы, чтобы не было скачка первой производной, те гауссовой кривизны в точке, и тогда гауссова кривизна нашей поверхности будет половина от $4\pi$ минус гауссова кривизна части сферы(вставленной)

[Otta]

Sicker
Ну дело Ваше, там интеграл от геодезической кривизны считается как нефиг делать. Хотя, конечно, можно по-всякому.